Funzione Integrale - Max Min e p.ti di sella
vorrei sapere se qualcuno del forum è in grado di darmi una mano.
Io ho una funzione integrale in due variabili di cui mi viene chiesto il calcolo dei punti critici, eventuali massimi e minimi, o selle locali della funzione; successivamente il sup F, inf F lungo la retta y=x.
La mia funzione è:
$F(x,y)= int_(0)^(2x+y) log(t+4)/(t+1)^(1/5) $
dopo essermi scritto la funzione integranda
$f(t)=log(t+4)/(t+1)^(1/5) $.
Ho determinato il dominio, calcolato i limiti utilizzando il criterio del confronto asintotico. e sono arrivato a dire dove la funzione è integrabile in senso improprio.
a questo punto ho definito la $F(x,y)$, dato le informazioni relative a insieme aperto, chiuso limitato, connesso, ed infine ho definito la sua frontiera e l'insieme dei punti di accumulazione.
Adesso mi chiede il calcolo dei punti critici appunto. Ovvero i punti per i quali si annula il gradiente della mia funzione $F(x,y)$. Non ho bisogno di calcolare la primitiva di $F(x,y)$, perche non è altro che la funzione integranda giusto? Semplicemente vado a sostituire gli estremi di integrazione alla t..
Dovrebbe uscirmi:
$ nabla F(x,y)= log(2x+y+5)/(2x+y+1)^(1/5)$ $ ( ( 2 ),( 1) ) $..
Da qui sinceramente non so andare avanti.. potete darmi una mano???
Io ho una funzione integrale in due variabili di cui mi viene chiesto il calcolo dei punti critici, eventuali massimi e minimi, o selle locali della funzione; successivamente il sup F, inf F lungo la retta y=x.
La mia funzione è:
$F(x,y)= int_(0)^(2x+y) log(t+4)/(t+1)^(1/5) $
dopo essermi scritto la funzione integranda
$f(t)=log(t+4)/(t+1)^(1/5) $.
Ho determinato il dominio, calcolato i limiti utilizzando il criterio del confronto asintotico. e sono arrivato a dire dove la funzione è integrabile in senso improprio.
a questo punto ho definito la $F(x,y)$, dato le informazioni relative a insieme aperto, chiuso limitato, connesso, ed infine ho definito la sua frontiera e l'insieme dei punti di accumulazione.
Adesso mi chiede il calcolo dei punti critici appunto. Ovvero i punti per i quali si annula il gradiente della mia funzione $F(x,y)$. Non ho bisogno di calcolare la primitiva di $F(x,y)$, perche non è altro che la funzione integranda giusto? Semplicemente vado a sostituire gli estremi di integrazione alla t..
Dovrebbe uscirmi:
$ nabla F(x,y)= log(2x+y+5)/(2x+y+1)^(1/5)$ $ ( ( 2 ),( 1) ) $..
Da qui sinceramente non so andare avanti.. potete darmi una mano???
Risposte
La \(F(x,y)\) è composta dalle funzioni:
\[
\Phi (z):=\int_0^z f(t)\ \text{d} t\qquad \text{e}\qquad z(x,y)=2x+y\; ,
\]
poiché infatti \(F(x,y)=\Phi (z(x,y))\).
La \(\Phi (z)\) è definita e continua in \(]-4,\infty[\) ed è di classe \(C^\infty\) in \(]-4,\infty[ \setminus \{-1\}\); d'altra parte \(z(x,y)\) è di classe \(C^\infty\) nel piano.
Dunque \(F(x,y)\) è definita e continua in \(\operatorname{Dom} F=\{(x,y):\ 2x+y>-4\}\), che è un semipiano, ed è di classe \(C^\infty\) in \(\operatorname{Dom}F\setminus\{(x,y):\ 2x+y\neq -1\}\).
Il gradiente di \(F(x,y)\) si calcola in modo semplice applicando il teorema di derivazione delle funzioni composte:
\[
\nabla F(x,y) =\Phi^\prime (z(x,y))\ \nabla z(x,y) = f(2x+y)\ (2,1)=(2f(2x+y),f(2x+y))\; ,
\]
sicché gli estremali si trovano lì dove \(f(2x+y)=0\), i.e. sulla retta di equazione \(2x+y=-3\). Le derivate seconde si calcolano facilmente: infatti:
\[
F_{xx}(x,y) = 4f^\prime (2x+y),\ F_{xy}(x,y)=2f^\prime (2x+y)=F_{yx}(x,y),\ F_{yy}(x,y)=f^\prime (2x+y)
\]
cosicché l'hessiano è:
\[
\mathcal{H}_F (x,y) = 0\; .
\]
A questo punto, è necessaria un'analisi del segno delle derivate parziali o del segno di \(F\) attorno agli estremali per classificare tali punti.
Prova un po' tu ad andare avanti.
\[
\Phi (z):=\int_0^z f(t)\ \text{d} t\qquad \text{e}\qquad z(x,y)=2x+y\; ,
\]
poiché infatti \(F(x,y)=\Phi (z(x,y))\).
La \(\Phi (z)\) è definita e continua in \(]-4,\infty[\) ed è di classe \(C^\infty\) in \(]-4,\infty[ \setminus \{-1\}\); d'altra parte \(z(x,y)\) è di classe \(C^\infty\) nel piano.
Dunque \(F(x,y)\) è definita e continua in \(\operatorname{Dom} F=\{(x,y):\ 2x+y>-4\}\), che è un semipiano, ed è di classe \(C^\infty\) in \(\operatorname{Dom}F\setminus\{(x,y):\ 2x+y\neq -1\}\).
Il gradiente di \(F(x,y)\) si calcola in modo semplice applicando il teorema di derivazione delle funzioni composte:
\[
\nabla F(x,y) =\Phi^\prime (z(x,y))\ \nabla z(x,y) = f(2x+y)\ (2,1)=(2f(2x+y),f(2x+y))\; ,
\]
sicché gli estremali si trovano lì dove \(f(2x+y)=0\), i.e. sulla retta di equazione \(2x+y=-3\). Le derivate seconde si calcolano facilmente: infatti:
\[
F_{xx}(x,y) = 4f^\prime (2x+y),\ F_{xy}(x,y)=2f^\prime (2x+y)=F_{yx}(x,y),\ F_{yy}(x,y)=f^\prime (2x+y)
\]
cosicché l'hessiano è:
\[
\mathcal{H}_F (x,y) = 0\; .
\]
A questo punto, è necessaria un'analisi del segno delle derivate parziali o del segno di \(F\) attorno agli estremali per classificare tali punti.
Prova un po' tu ad andare avanti.
Ti ringrazio innanzitutto per la risposta, ma quando provavo a svolgere nuovamente l'esercizio ho avuto un dubbio. Quando applico il teorema del confronto asintotico:
$ f(t)~ - (log(t+4))/(3^(1/3) $ per $ trarr (-4)^+ $
come faccio a dire che è integrabile in senso improprio?
per $ trarr -1 $ $ f(t) ~ log(3)/(t+1)^(1/3) $ io pensavo di vederla come $ 1/x^alpha $ ed essendo $ alpha < 1 $ poter dire che diverge e quindi non è integrabile in senso improprio. Forse però sto sbagliando qualcosa perchè secondo l'esercizio è integrabile in senso improprio.
Gugo cosa ne pensi?
$ f(t)~ - (log(t+4))/(3^(1/3) $ per $ trarr (-4)^+ $
come faccio a dire che è integrabile in senso improprio?
per $ trarr -1 $ $ f(t) ~ log(3)/(t+1)^(1/3) $ io pensavo di vederla come $ 1/x^alpha $ ed essendo $ alpha < 1 $ poter dire che diverge e quindi non è integrabile in senso improprio. Forse però sto sbagliando qualcosa perchè secondo l'esercizio è integrabile in senso improprio.
Gugo cosa ne pensi?
Il problema è nella determinazione del dominio di \(\Phi\).
Dato che l'integrando è definito e continuo per \(]-4,\infty[\setminus\{-1\}\) e che il punto iniziale di \(\Phi\) è \(0\in ]-1,\infty[\), chiaramente \(\Phi\) è definita almeno in tutto \(]-1,\infty[\).
Ora si tratta di far vedere se il dominio di \(\Phi\) si può estendere a sinistra di \(-1\).
Come hai notato, in \(-1\) l'integrando è asintoticamente equivalente a \(1/(t+1)^{1/3}\), che è un infinito d'ordine \(1/3<1\) e perciò è sommabile; perciò, la funzione integrale si può prolungare con continuità su \(-1\).
Fatto ciò, dato che \(f\) è continua in \(]-4,-1]\), è chiaro che la funzione integrale si può definire non solo in \(-1\) per continuità, ma anche a sinistra di \(-1\); perciò la \(\Phi\) si può pensare definita in \(]-4,\infty[\).
Ora, rimane da vedere se \(\Phi\) si può prolungare con continuità anche su \(-4\).
Effettivamente, l'integrando è integrabile in \(-4\) (perché va a infinito come un logaritmo, ed il logaritmo è un infinito integrabile).
Quindi la funzione integrale \(\Phi\) si può prolungare su \(-4\) con continuità ed il suo dominio è \([-4,\infty[\) (non \(]-4,\infty[\) come erroneamente segnalato sopra).
Dato che l'integrando è definito e continuo per \(]-4,\infty[\setminus\{-1\}\) e che il punto iniziale di \(\Phi\) è \(0\in ]-1,\infty[\), chiaramente \(\Phi\) è definita almeno in tutto \(]-1,\infty[\).
Ora si tratta di far vedere se il dominio di \(\Phi\) si può estendere a sinistra di \(-1\).
"giomichy":
per $ trarr -1 $ $ f(t) ~ log(3)/(t+1)^(1/3) $ io pensavo di vederla come $ 1/x^alpha $ ed essendo $ alpha < 1 $ poter dire che diverge e quindi non è integrabile in senso improprio. Forse però sto sbagliando qualcosa perchè secondo l'esercizio è integrabile in senso improprio.
Gugo cosa ne pensi?
Come hai notato, in \(-1\) l'integrando è asintoticamente equivalente a \(1/(t+1)^{1/3}\), che è un infinito d'ordine \(1/3<1\) e perciò è sommabile; perciò, la funzione integrale si può prolungare con continuità su \(-1\).
Fatto ciò, dato che \(f\) è continua in \(]-4,-1]\), è chiaro che la funzione integrale si può definire non solo in \(-1\) per continuità, ma anche a sinistra di \(-1\); perciò la \(\Phi\) si può pensare definita in \(]-4,\infty[\).
Ora, rimane da vedere se \(\Phi\) si può prolungare con continuità anche su \(-4\).
"giomichy":
Ti ringrazio innanzitutto per la risposta, ma quando provavo a svolgere nuovamente l'esercizio ho avuto un dubbio. Quando applico il teorema del confronto asintotico:
$ f(t)~ - (log(t+4))/(3^(1/3) $ per $ trarr (-4)^+ $
come faccio a dire che è integrabile in senso improprio?
Effettivamente, l'integrando è integrabile in \(-4\) (perché va a infinito come un logaritmo, ed il logaritmo è un infinito integrabile).
Quindi la funzione integrale \(\Phi\) si può prolungare su \(-4\) con continuità ed il suo dominio è \([-4,\infty[\) (non \(]-4,\infty[\) come erroneamente segnalato sopra).
Gugo mi dispiace ma penso di non avere capito il procedimento relativo alla determinazione della convergenza e divergenza. Ho capito il discorso di andare a verificare quello che succede quando ci avviciniamo al punto di esclusione ovvero $ -1^+ $ e $ -1^- $. Però dal momento in cui per $ t→−1 , f(t)~log(3)/(t+1)^(1/3) $ diverge, come mai è comunque integrabile in senso improprio? Se pensi mi manchi qualcosa dalla teoria dimmi e vado a rivederla immediatamente
Vai assolutamente a rileggerti i criteri di convergenza per gli integrali impropri.
Ti ringrazio davvero tanto per la mano che mi stai dando. Allora Gugo ora ho capito i motivo per cui è integrabile in senso improprio, penso di aver fatto confusione con la convergenza delle serie.
Allora per adesso ci sono. Prima di andare avanti volevo chiederti in riferimento a l'Hessiano. Nel caso appena fatto è uscito nullo, ma nel caso in cui fosse uscito ad esempio $ 4f(2x+y)^2 $ in questo caso cosa potrei dire?
Per lo studio del segno non riesco a capire quale deve essere il concetto. Dovrei considerare $ f(t)>=0 $ e $ f(t)<0 $ , l'intervallo in cui è presente il primo estremo di integrazione e dire per quali valori di t è definita?
Allora per adesso ci sono. Prima di andare avanti volevo chiederti in riferimento a l'Hessiano. Nel caso appena fatto è uscito nullo, ma nel caso in cui fosse uscito ad esempio $ 4f(2x+y)^2 $ in questo caso cosa potrei dire?
Per lo studio del segno non riesco a capire quale deve essere il concetto. Dovrei considerare $ f(t)>=0 $ e $ f(t)<0 $ , l'intervallo in cui è presente il primo estremo di integrazione e dire per quali valori di t è definita?
Gugo potresti darmi una risposta? Martedi ho l'esame 
In questo caso gli estremali erano distribuiti sulla retta \(r\) di equazione \(2x+y=-3\) ed avevi hessiano nullo.
Questo è il caso più fetente giacché devi andarti a studiare il segno della variazione \(\Delta F (x,y;x_0,y_0) = F(x,y)-F(x_0,y_0)\), in cui \((x_0,y_0)\) è un generico estremale, i.e. un punto generico della retta \(r\).
Ma per ogni \((x_0,y_0)\in r\) hai \(2x_0+y_0=-3\) e dunque:
\[
\begin{split}
\Delta F(x,y;x_0,y_0) &= \int_0^{2x+y} \frac{\log (t+4}{(t+1)^{1/5}}\ \text{d} t - \int_0^{2x_0+y_0} \frac{\log (t+4}{(t+1)^{1/5}}\ \text{d} t\\
&= \int_0^{2x+y} \frac{\log (t+4)}{(t+1)^{1/5}}\ \text{d} t - \int_0^{-3} \frac{\log (t+4)}{(t+1)^{1/5}}\ \text{d} t\\
&= \int_0^{2x+y} \frac{\log (t+4)}{(t+1)^{1/5}}\ \text{d} t + \int_{-3}^0 \frac{\log (t+4)}{(t+1)^{1/5}}\ \text{d} t\\
&= \int_{-3}^{2x+y} \frac{\log (t+4)}{(t+1)^{1/5}}\ \text{d} t\; .
\end{split}
\]
Dato che la funzione:
\[
G(z):=\int_{-3}^z \frac{\log (t+4)}{(t+1)^{1/5}}\ \text{d} t
\]
è negativa intorno a \(-3\) (infatti l'integrando è \(\geq 0\) prima di \(-3\) e negativo dopo, quindi \(G\) ha massimo locale in \(-3\) e tale massimo coincide con \(G(-3)=0\); perciò \(G(z)\leq 0\) intorno a \(-3\)), hai anche \(\Delta F(x,y;x_0,y_0)\leq 0\) quando \(2x+y\) è vicino a \(-3\), ossia quando \((x,y)\) è vicino a \((x_0,y_0)\); perciò \(F(x,y)\leq F(x_0,y_0)\) ed ogni punto della retta \(r\) è di massimo locale.
Ora, tu mi chiedi, supponiamo che l'hessiano non venga nullo... Che succede in questo caso?
Vabbé, succede quello che succede in tutti i casi simili, solo che stavolta avrai a che fare con un hessiano in cui intervengono necessariamente come parametri le coordinate \((x_0,y_0)\) di un generico estremale (perché stiamo sempre supponendo che tutti i punti di un insieme siano estremali, no?) e come variabili le coordinate \((x,y)\).
Quindi dovrai stabilire se, intorno ad un fissato \((x_0,y_0)\), l'hessiano è positivo/negativo come funzione di \((x,y)\) e continuare poi, nel caso, con l'analisi del segno delle derivate seconde e tutto il resto.
Ad ogni modo, ti converrebbe postare un esempio.
Questo è il caso più fetente giacché devi andarti a studiare il segno della variazione \(\Delta F (x,y;x_0,y_0) = F(x,y)-F(x_0,y_0)\), in cui \((x_0,y_0)\) è un generico estremale, i.e. un punto generico della retta \(r\).
Ma per ogni \((x_0,y_0)\in r\) hai \(2x_0+y_0=-3\) e dunque:
\[
\begin{split}
\Delta F(x,y;x_0,y_0) &= \int_0^{2x+y} \frac{\log (t+4}{(t+1)^{1/5}}\ \text{d} t - \int_0^{2x_0+y_0} \frac{\log (t+4}{(t+1)^{1/5}}\ \text{d} t\\
&= \int_0^{2x+y} \frac{\log (t+4)}{(t+1)^{1/5}}\ \text{d} t - \int_0^{-3} \frac{\log (t+4)}{(t+1)^{1/5}}\ \text{d} t\\
&= \int_0^{2x+y} \frac{\log (t+4)}{(t+1)^{1/5}}\ \text{d} t + \int_{-3}^0 \frac{\log (t+4)}{(t+1)^{1/5}}\ \text{d} t\\
&= \int_{-3}^{2x+y} \frac{\log (t+4)}{(t+1)^{1/5}}\ \text{d} t\; .
\end{split}
\]
Dato che la funzione:
\[
G(z):=\int_{-3}^z \frac{\log (t+4)}{(t+1)^{1/5}}\ \text{d} t
\]
è negativa intorno a \(-3\) (infatti l'integrando è \(\geq 0\) prima di \(-3\) e negativo dopo, quindi \(G\) ha massimo locale in \(-3\) e tale massimo coincide con \(G(-3)=0\); perciò \(G(z)\leq 0\) intorno a \(-3\)), hai anche \(\Delta F(x,y;x_0,y_0)\leq 0\) quando \(2x+y\) è vicino a \(-3\), ossia quando \((x,y)\) è vicino a \((x_0,y_0)\); perciò \(F(x,y)\leq F(x_0,y_0)\) ed ogni punto della retta \(r\) è di massimo locale.
Ora, tu mi chiedi, supponiamo che l'hessiano non venga nullo... Che succede in questo caso?
Vabbé, succede quello che succede in tutti i casi simili, solo che stavolta avrai a che fare con un hessiano in cui intervengono necessariamente come parametri le coordinate \((x_0,y_0)\) di un generico estremale (perché stiamo sempre supponendo che tutti i punti di un insieme siano estremali, no?) e come variabili le coordinate \((x,y)\).
Quindi dovrai stabilire se, intorno ad un fissato \((x_0,y_0)\), l'hessiano è positivo/negativo come funzione di \((x,y)\) e continuare poi, nel caso, con l'analisi del segno delle derivate seconde e tutto il resto.
Ad ogni modo, ti converrebbe postare un esempio.
\[
G(z):=\int_{-3}^z \frac{\log (t+4)}{(t+1)^{1/5}}\ \text{d} t
\]
è negativa in un intorno a \(-3\) lo affermi in seguito allo studio di $ f(t)>=0 $? Ovvero:
Il numeratore: $ log(t+4)>=0 -> log(t+4)>0 -> t> -4 $
il denominatore: $ (t+1)^(1/5)>=0 -> (t+1)^(1/5)>0 -> t> -1 $
Dalla quale ottengo $ >=0 $ prima di $-4$, $<=0$ in $(-4,-1)$ e nuovamente $>=0$ dopo $-1$.
L'estremo $-3$ ricade nell'intervallo negativo. Prima di esso $f(t)>=0$ per questo motivo abbiamo un massimo?
G(z):=\int_{-3}^z \frac{\log (t+4)}{(t+1)^{1/5}}\ \text{d} t
\]
è negativa in un intorno a \(-3\) lo affermi in seguito allo studio di $ f(t)>=0 $? Ovvero:
Il numeratore: $ log(t+4)>=0 -> log(t+4)>0 -> t> -4 $
il denominatore: $ (t+1)^(1/5)>=0 -> (t+1)^(1/5)>0 -> t> -1 $
Dalla quale ottengo $ >=0 $ prima di $-4$, $<=0$ in $(-4,-1)$ e nuovamente $>=0$ dopo $-1$.
L'estremo $-3$ ricade nell'intervallo negativo. Prima di esso $f(t)>=0$ per questo motivo abbiamo un massimo?
Certo.
Ultimi due dubbi:
1) se avessi trovato dalla matrice Hessiana un punto critico ad esempio $(0,0)$ come avrei concluso riguardo alla sua natura?
2) quando un punto é di sella?
1) se avessi trovato dalla matrice Hessiana un punto critico ad esempio $(0,0)$ come avrei concluso riguardo alla sua natura?
2) quando un punto é di sella?
"giomichy":
1) se avessi trovato dalla matrice Hessiana un punto critico ad esempio $(0,0)$ come avrei concluso riguardo alla sua natura?
L'hessiano non ti da informazioni sui punti critici (solo il gradiente lo fa); esso si limita a segnalarti se un punto, che sai già essere critico, è o non è un estremo locale.
"giomichy":
2) quando un punto é di sella?
Eh, bella domanda... Non c'è una definizione comunemente accettata di "punto di sella"; quindi è meglio se consulti il tuo libro di testo.
pongo un quesito a voi utenti più esperti, ma il punto di sella o colle potrebbe essere l'analogo in più dimensioni di un punto di flesso (in una dimensione)??
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo