Funzione integrale, massimi e minimi

[eugeniocotardo]

Salve a tutti,
mi potreste aiutare con questo esercizio? Devo dimostrare che la seguente funzione

$$F(x)=∫_{0}^{x^2+2x}{arctan(t)dt}$$

ha un punto di massimo e due punti di minimo locale. Devo inoltre scoprire se il massimo locale è anche un massimo assoluto per la funzione.

Indicativamente, credo di dover calcolare la derivata prima del risultato dell'integrale e poi applicare la formula fondamentale del calcolo integrale, giusto? Ma poi, per massimi e minimi?
Inoltre, devo porre come condizione che l'estremo di integrazione superiore sia maggiore di 0 in questo caso? Grazie in anticipo!

[anto_zoolander]

Proprio in questo caso potresti direttamente calcolare la primitiva e studiare semplicemente la funzione che ti esce

Altrimenti come hai ben detto puoi usare il teorema fondamentale del calcolo.
Come ti comporteresti in tal caso?

[pilloeffe]

Ciao 4xy,

Deriverei $F(x) $ facendo uso della regola della catena:

$ F'(x) = f(x^2 + 2x) \cdot D[x^2 + 2x] = arctan(x^2 + 2x) \cdot (2x + 2) = 2(x + 1) arctan(x^2 + 2x) $

Nel caso specifico poi ovviamente si ha $F(0) = 0 $ e non è neanche troppo complicato scoprire l'espressione esplicita di $F(x) $, dato che integrando per parti si ha:

$F(x) = int_0^{x^2 + 2x} arctan(t) dt = [t arctan(t) - 1/2 ln(1 + t^2)]_0^{x^2 + 2x} = $
$ = (x^2 + 2x) arctan(x^2 + 2x) - 1/2 ln[1 + (x^2 + 2x)^2] $