Funzione integrale (II)

[Fregior]

Salve, ho il seguente quesito:
Si consideri la relazione $ int_(0)^(x) f(t)dt=(x+4)e^(x^2+5x)+1 $
A occhio, c'è un errore... perché $int_(0)^(0) f(t)dt=4*1+1 != 0$
Assumo quindi che la funzione sia $ int_(0)^(x) f(t)dt=(x+4)e^(x^2+5x)-4 $
E' lecito? (Anche se non cambia nulla)
Mi chiedono:
Si determini $f(x)$ e si calcoli l'integrale definito in $(0;1)$

$F'(x)=f(x)=e^(x^2+5x)+(x+4)(2x+5)e^(x^2+5x)$
L'integrale definito vale $ int_(0)^(1) f(t)dt=(1+4)e^(1^2+5*1)-4=5e^6-4$ (se non ho sbagliato qualche conto).
L'ho svolto correttamente?
Se avessi avuto ad esempio $[-2;1]$ potevo calcolarlo prima tra -2 e 0 e poi tra 0 e 1?
Per l'intervallo tra -2 e 0 potevo usare la proprietà $int_(a)^(b) f(t)dt=-int_(b)^(a) f(t)dt$ o vi era un modo più veloce?

Grazie mille, a presto.

[Raptorista1]

Determinare \(f\) come derivata della funzione integrale va bene, è il teorema fondamentale.
Sull'intervallo \([-2,1]\) puoi fare come dici, ma anche valutare direttamente la funzione integrale negli estremi.
Idem per la terza domanda.