Funzione integrale eguagliata a funzione
Ciao a tutti, é la prima volta che scrivo qui sul forum. Mi sono imbattuto in un esercizio che non so come risolvere, non ho mai visto un problema del genere:
$ [f(x)]^2=int_0^x f(t)(sen(t))/(2+cos(t))dt $
So studiare una funzione integrale ma non ho mai determinato f(x) , l'esercizio chiede proprio questo. Inoltre non so come gestire il fatto che f(t) non sia nota.
Sarei davvero grato se qualcuno riuscisse anche solo a darmi una parola chiave con cui fare ricerche su internet.
grazie.
$ [f(x)]^2=int_0^x f(t)(sen(t))/(2+cos(t))dt $
So studiare una funzione integrale ma non ho mai determinato f(x) , l'esercizio chiede proprio questo. Inoltre non so come gestire il fatto che f(t) non sia nota.
Sarei davvero grato se qualcuno riuscisse anche solo a darmi una parola chiave con cui fare ricerche su internet.
grazie.
Risposte
Nemmeno io l'ho mai visto....ma mi domando: 
"non è sufficiente derivare ambo i membri ?"
$2f(x)f'(x)=f(x) (senx)/(2+cosx)$
$f'(x)=1/2 (senx)/(2+cosx)$
$f(x)=...$
"non è sufficiente derivare ambo i membri ?"$2f(x)f'(x)=f(x) (senx)/(2+cosx)$
$f'(x)=1/2 (senx)/(2+cosx)$
$f(x)=...$
Per prima cosa si dovrebbe motivare la ragione per cui si ritiene che \(f(x)\) sia derivabile. Inoltre, hai diviso per \(f(x)\) senza considerare il caso in cui \(f(x)\) si annulli. Non si tratta di un caso così impossibile, infatti la funzione \(\mathbf{0}\colon x\mapsto 0\) è banalmente una soluzione del problema.
Un marchingegno del genere si chiama equazione integrale ed è stata inventata molta Matematica per risolvere problemi simili.
Tuttavia, qui il fatto è sufficientemente elementare da essere risolto “a mano”.
Chiaramente, la funzione identicamente nulla $f(x) := 0$ è una soluzione dell’equazione integrale, dunque possiamo limitarci a cercare soluzioni non identicamente nulle.
La risoluzione “artigianale” del problema si basa sulla possibilità di trasformare l’equazione integrale in un’equazione differenziale: vediamo come e quando è possibile.
Osserviamo che, per dare senso all’integrale, l’incognita $f(x)$ deve essere almeno integrabile, quindi l’insieme “naturale” di definizione del problema sembrerebbe essere la classe delle funzioni integrabili (diciamo secondo Riemann, visto che credo tu stia studiando Analisi I) sui compatti di $RR$.
Ora, supponendo che $f$ sia integrabile sui compatti, la funzione integranda $f(x) (sin x)/(2 + cos x)$ è anch’essa integrabile secondo Riemann e dunque la funzione integrale $int_0^x f(t) (sin t)/(2 + cos t) text(d) t$ è ovunque continua per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale.
Se $f$ è soluzione dell’equazione integrale, si ha $f^2(x) = int_0^x f(t) (sin t)/(2 + cos t) text(d) t$ e ciò implica che $f^2(x)$ è una funzione continua… Ma ciò non implica che $f$ sia una funzione continua (perché? Costruisci un esempio di funzione $f(x)$ discontinua che ha quadrato continuo)!
Quindi, sotto la sola ipotesi di integrabilità, non abbiamo i requisiti minimi di regolarità per trasformare il problema integrale in un problema differenziale e dobbiamo desistere.
Allora, supponiamo direttamente che $f$ sia una funzione derivabile in qualche intervallo $I sube RR$ contenente $0$.
Visto che $f$ è derivabile in $I$, essa è pure continua e quindi integrabile in $I$ e l’equazione integrale ha senso; inoltre, ambo i membri dell’equazione integrale sono derivabili in $I$ e possiamo derivare l’equazione integrale membro a membro ottenendo:
\[
2 f(x)\ f^\prime (x) = f(x)\ \frac{\sin x}{2 + \cos x} \; ;
\]
supponendo che $f$ non si annulli “drammaticamente” (cioè su un sottointervallo cicciotto) in $I$, possiamo semplificare la precedente trovando l’equazione differenziale (banale) del primo ordine:
\[
f^\prime (x) = \frac{\sin x}{2(2 + \cos x)}
\]
e dall’equazione integrale ricaviamo $f^2(0)=0$, ossia la condizione iniziale $f(0) = 0$.
Conseguentemente, la soluzione $f$, di classe $C^1$ e non “drammaticamente” nulla in $I$, soddisfa il P.d.C.:
\[
\begin{cases}
f^\prime (x) = \frac{\sin x}{2(2 + \cos x)} \\
f(0) = 0
\end{cases} \; .
\]
Il T.F.d.C.I. assicura che l’unica soluzione del P.d.C. è la funzione integrale:
\[
f(x) := \int_0^x \frac{\sin t}{2(2 + \cos t)}\ \text{d} t \; ,
\]
che, “ad occhio”, è definita in tutto $RR$ e periodica di periodo $2pi$, sicché si annulla in tutti i punti della famiglia $x_k = 2k pi$ con ($k in ZZ$).
Questo procedimento risolutivo “artigianale” fornisce una soluzione probabile, perché tirata fuori davvero tagliando tutto con l’accetta.
Verifichiamo che la $f$ indovinata sopra è davvero una soluzione dell’equazione integrale. Calcoliamo il secondo membro (che, per comodità, chiamiamo $F$): integrando per parti otteniamo:
\[
\begin{split}
F &= \int_0^x \underbrace{\left( \int_0^t \frac{\sin \tau}{2(2 + \cos \tau)}\ \text{d} \tau \right)}_{= \phi(t)}\ \underbrace{\frac{\sin t}{2 + \cos t}}_{=\psi^\prime (t)}\ \text{d} t \\
&= \underbrace{\int_0^x \frac{\sin t}{2(2 + \cos t)}\ \text{d} t}_{=\phi (x)}\cdot \underbrace{\int_0^x \frac{\sin t}{2 + \cos t}\ \text{d} t}_{=\psi (x)} - \int_0^x \underbrace{\frac{\sin t}{2(2 + \cos t)}}_{=\phi^\prime (t)}\ \underbrace{\left( \int_0^t \frac{\sin \tau}{2 + \cos \tau}\ \text{d} \tau \right)}_{=\psi (t)}\ \text{d} t \\
&= 2\ \int_0^x \frac{\sin t}{2(2 + \cos t)}\ \text{d} t \cdot \int_0^x \frac{\sin t}{2 (2+ \cos t)}\ \text{d} t - \int_0^x \frac{\sin x}{2+\cos x}\ \left( \int_0^t \frac{\sin \tau}{2(2+\cos \tau)}\ \text{d} \tau \right)\ \text{d} t \\
&= 2\ f^2(x) - F\; ,
\end{split}
\]
da cui, con un procedimento standard, si ricava $F = f^2(x)$ che è quanto volevamo.
Ovviamente, la soluzione trovata si riesce ad esprimere elementarmente calcolando l’integrale definito e si trova:
\[
f(x) = \frac{1}{2}\ \big( \log 3 - \log ( 2 + \cos x) \big) \; .
\]
Tuttavia, qui il fatto è sufficientemente elementare da essere risolto “a mano”.
Chiaramente, la funzione identicamente nulla $f(x) := 0$ è una soluzione dell’equazione integrale, dunque possiamo limitarci a cercare soluzioni non identicamente nulle.
La risoluzione “artigianale” del problema si basa sulla possibilità di trasformare l’equazione integrale in un’equazione differenziale: vediamo come e quando è possibile.
Osserviamo che, per dare senso all’integrale, l’incognita $f(x)$ deve essere almeno integrabile, quindi l’insieme “naturale” di definizione del problema sembrerebbe essere la classe delle funzioni integrabili (diciamo secondo Riemann, visto che credo tu stia studiando Analisi I) sui compatti di $RR$.
Ora, supponendo che $f$ sia integrabile sui compatti, la funzione integranda $f(x) (sin x)/(2 + cos x)$ è anch’essa integrabile secondo Riemann e dunque la funzione integrale $int_0^x f(t) (sin t)/(2 + cos t) text(d) t$ è ovunque continua per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale.
Se $f$ è soluzione dell’equazione integrale, si ha $f^2(x) = int_0^x f(t) (sin t)/(2 + cos t) text(d) t$ e ciò implica che $f^2(x)$ è una funzione continua… Ma ciò non implica che $f$ sia una funzione continua (perché? Costruisci un esempio di funzione $f(x)$ discontinua che ha quadrato continuo)!
Quindi, sotto la sola ipotesi di integrabilità, non abbiamo i requisiti minimi di regolarità per trasformare il problema integrale in un problema differenziale e dobbiamo desistere.
Allora, supponiamo direttamente che $f$ sia una funzione derivabile in qualche intervallo $I sube RR$ contenente $0$.
Visto che $f$ è derivabile in $I$, essa è pure continua e quindi integrabile in $I$ e l’equazione integrale ha senso; inoltre, ambo i membri dell’equazione integrale sono derivabili in $I$ e possiamo derivare l’equazione integrale membro a membro ottenendo:
\[
2 f(x)\ f^\prime (x) = f(x)\ \frac{\sin x}{2 + \cos x} \; ;
\]
supponendo che $f$ non si annulli “drammaticamente” (cioè su un sottointervallo cicciotto) in $I$, possiamo semplificare la precedente trovando l’equazione differenziale (banale) del primo ordine:
\[
f^\prime (x) = \frac{\sin x}{2(2 + \cos x)}
\]
e dall’equazione integrale ricaviamo $f^2(0)=0$, ossia la condizione iniziale $f(0) = 0$.
Conseguentemente, la soluzione $f$, di classe $C^1$ e non “drammaticamente” nulla in $I$, soddisfa il P.d.C.:
\[
\begin{cases}
f^\prime (x) = \frac{\sin x}{2(2 + \cos x)} \\
f(0) = 0
\end{cases} \; .
\]
Il T.F.d.C.I. assicura che l’unica soluzione del P.d.C. è la funzione integrale:
\[
f(x) := \int_0^x \frac{\sin t}{2(2 + \cos t)}\ \text{d} t \; ,
\]
che, “ad occhio”, è definita in tutto $RR$ e periodica di periodo $2pi$, sicché si annulla in tutti i punti della famiglia $x_k = 2k pi$ con ($k in ZZ$).
Questo procedimento risolutivo “artigianale” fornisce una soluzione probabile, perché tirata fuori davvero tagliando tutto con l’accetta.
Verifichiamo che la $f$ indovinata sopra è davvero una soluzione dell’equazione integrale. Calcoliamo il secondo membro (che, per comodità, chiamiamo $F$): integrando per parti otteniamo:
\[
\begin{split}
F &= \int_0^x \underbrace{\left( \int_0^t \frac{\sin \tau}{2(2 + \cos \tau)}\ \text{d} \tau \right)}_{= \phi(t)}\ \underbrace{\frac{\sin t}{2 + \cos t}}_{=\psi^\prime (t)}\ \text{d} t \\
&= \underbrace{\int_0^x \frac{\sin t}{2(2 + \cos t)}\ \text{d} t}_{=\phi (x)}\cdot \underbrace{\int_0^x \frac{\sin t}{2 + \cos t}\ \text{d} t}_{=\psi (x)} - \int_0^x \underbrace{\frac{\sin t}{2(2 + \cos t)}}_{=\phi^\prime (t)}\ \underbrace{\left( \int_0^t \frac{\sin \tau}{2 + \cos \tau}\ \text{d} \tau \right)}_{=\psi (t)}\ \text{d} t \\
&= 2\ \int_0^x \frac{\sin t}{2(2 + \cos t)}\ \text{d} t \cdot \int_0^x \frac{\sin t}{2 (2+ \cos t)}\ \text{d} t - \int_0^x \frac{\sin x}{2+\cos x}\ \left( \int_0^t \frac{\sin \tau}{2(2+\cos \tau)}\ \text{d} \tau \right)\ \text{d} t \\
&= 2\ f^2(x) - F\; ,
\end{split}
\]
da cui, con un procedimento standard, si ricava $F = f^2(x)$ che è quanto volevamo.
Ovviamente, la soluzione trovata si riesce ad esprimere elementarmente calcolando l’integrale definito e si trova:
\[
f(x) = \frac{1}{2}\ \big( \log 3 - \log ( 2 + \cos x) \big) \; .
\]
Grazie a tutti per le risposte, sopratutto per lo svolgimento completo. Adesso provo a riprodurre la soluzione cosi da comprenderla al 100%
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