Funzione integrale e teorema fondamentale del calcolo integrale
Ciao,vi scrivo per rendermi conto se ho capito bene di cosa consistono gli argomenti scritti nel titolo dell’argomento.Parto dalla funzione integrale: sia f una funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [a;b] e sia x un qualsiasi punto di tale intervallo.Si chiama funzione integrale della funzione f in [a;b] la funzione F così definita: $F(x)=int_a^xf(x)dx$
F è dunque una funzione che associa ad ogni x di [a;b] il valore numerico dato da $int_a^xf(x)dx$
Il legame tra una funzione e la funzione integrale ad essa associata è espresso dal teorema fondamentale del calcolo integrale(non faccio la dimostrazione perchè la prof non l’ha fatta) il cui enunciato è il seguente:Se la funzione f(x) è continua in [a;b] la corrisponedente funzione integrale oltre ad essere definita in [a;b] è anche derivabile in quest’ultimo e per ogni x di [a;b] si ha che $F’(x)=f(x)$.Ho capito bene? Per quanto riguarda gli estremi si ha che in a esiste la derivata destra di F e in b la derivata sinistra,allora la relazione diventa $F’+(a)=f(a)$e $F’-(b)=f(b)$? Grazie.
F è dunque una funzione che associa ad ogni x di [a;b] il valore numerico dato da $int_a^xf(x)dx$
Il legame tra una funzione e la funzione integrale ad essa associata è espresso dal teorema fondamentale del calcolo integrale(non faccio la dimostrazione perchè la prof non l’ha fatta) il cui enunciato è il seguente:Se la funzione f(x) è continua in [a;b] la corrisponedente funzione integrale oltre ad essere definita in [a;b] è anche derivabile in quest’ultimo e per ogni x di [a;b] si ha che $F’(x)=f(x)$.Ho capito bene? Per quanto riguarda gli estremi si ha che in a esiste la derivata destra di F e in b la derivata sinistra,allora la relazione diventa $F’+(a)=f(a)$e $F’-(b)=f(b)$? Grazie.
Risposte
Ma che è questo linguaggio da quarta superiore...
Sia $f:I->RR$ localmente integrabile in I aperto, e sia $a in I$, per ogni $x in I$ si definisce la funzione integrale di f:
$F(x):=int_(a)^(x)f(t)dt$
Teorema: f è continua in I
Teorema fondamentale del calcolo:
Se f è continua in I, F è una primitiva di f in I
Sia $f:I->RR$ localmente integrabile in I aperto, e sia $a in I$, per ogni $x in I$ si definisce la funzione integrale di f:
$F(x):=int_(a)^(x)f(t)dt$
Teorema: f è continua in I
Teorema fondamentale del calcolo:
Se f è continua in I, F è una primitiva di f in I
Ma poi dai...nemmeno il teorema fondamentale del calcolo dimostrano? Ci vogliono letteralmente 3 minuti, pure alle superiori ce lo chiedevano alle interrogazioni...
È uno dei pochi che chiedo anch'io.
Studio da un libro liceale perchè il libro che ci ha consigliato la prof "Analisi matematica 1 " di Prodi lo trovo difficile da capire in merito a questi argomenti.Volevo chiedervi una cosa sulla formula fondamentale del calcolo integrale.L'enunciato mi è chiaro: $int_a^bf(x)dx$=$/varphi(b)-varphi(a)$. Non ho capito perchè il testo prende in considerazione la funzione $varphi(x)$ quando poteva riferirsi sempre alla funzione integrale $F(x)$.A parte questo mi chiedevo se la funzione $varphi(x)$ è anch'essa definita in [a;b].Mi viene da dire di sì perchè dato che differisce con la funzione integrale solo per una costante allora avranno lo stesso dominio (l'intervallo chiuso e limitato considerato).Ovviamente hanno la stessa derivata ($f(x)$) e così anche la funzione $varphi(x)$ è derivabile in [a;b] come $F(x)$( per quest'ultima garantisce il teorema fondamentale del calcolo integrale).Sono osservazione corrette o no?Grazie.
Tra un libro complesso e un libro delle superiori ci sono varie sfumature in mezzo eh...comunque spero tu non abbia un orale di analisi...
Tornando ai fatti: Lascia perdere tutta quella robaccia scritta su quel libro e leggiti quello che ho scritto io: il teorema fondamentale del calcolo dice che se f è continua in $I$ allora F è UNA primitiva di f in I...Sapendo che F+c è ancora una primitiva di f in I, allora si può dimostrare la formula fondamentale del calcolo, che dice che $int_(a)^(b)f(t)dt=phi(b)-phi(a)$ con $phi$ una qualsiasi primitiva di f in I...perché si usa $phi$?, perché ci va bene qualsiasi primitiva, non solo quella data dalla funzione integrale, che per quanto detto è UNA primitiva della funzione, ma non l'unica.
Corrette ma abbastanza scolastiche
Tornando ai fatti: Lascia perdere tutta quella robaccia scritta su quel libro e leggiti quello che ho scritto io: il teorema fondamentale del calcolo dice che se f è continua in $I$ allora F è UNA primitiva di f in I...Sapendo che F+c è ancora una primitiva di f in I, allora si può dimostrare la formula fondamentale del calcolo, che dice che $int_(a)^(b)f(t)dt=phi(b)-phi(a)$ con $phi$ una qualsiasi primitiva di f in I...perché si usa $phi$?, perché ci va bene qualsiasi primitiva, non solo quella data dalla funzione integrale, che per quanto detto è UNA primitiva della funzione, ma non l'unica.
Sono osservazione corrette o no?Grazie.
Corrette ma abbastanza scolastiche
Grazie.
"Vulplasir":
Teorema: f è continua in I
Questo è \(F\), non \(f\) (?).
Si certo, ho sbagliato a posta
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