Funzione integrale dire se è derivabile in un intervallo

[alexdr1]

Salve avrei un dubbio. Ho questa funzione:
$f(x)=\{((e^x)^2,if -1<=x<=0),(x^2-x+2,if 0 Mi viene chiesto prima se f è continua in $[-1,1]$ e la risposta è no, perché in $x=0$ presenta una discontinuità di prima specie e in $x=1$ una discontinuità di tipo eliminabile.
Poi mi viene chiesto F è derivabile in $[-1,1]$?
E in questa domanda istintivamente avrei detto no perché f non è continua in quell'intervallo quindi F non è derivabile in tale intervallo. Però poi pensandoci un po` su, se ad una funzione viene modificato un numero finito di punti il suo integrale non cambia. Quindi se io modifico i punti in cui non è continua la funzione integrale la potrei rendere derivabile? Se sì, come dovrei procedere? Se no, la motivazione che dovrei dare quale sarebbe?

[donald_zeka]

Le due domande sono la stessa cosa. f non è continua in [-1,1], ma f è la derivata di F, quindi la derivata di F non è continua in [-1,1] e quindi F non è derivabile in [-1,1].

[donald_zeka]

Però poi pensandoci un po` su, se ad una funzione viene modificato un numero finito di punti il suo integrale non cambia

Vero, ma non è questo il caso. Qui non chiede se f è integrabile in [-1,1], perché se chiedesse questo la risposta sarebbe SI, infatti f presenta un numero finito di punti di discontinuità ed è limitata in un intervallo limitato, quindi è integrabile, qui chiede se la funzione integrale F è derivabile, ossia se l'area compresa tra f e l'asse x varia "con regolarità", e la risposta è no, l'area non varia con regolarità perché sono presenti discontinuità di prima specie.

[alexdr1]

Grazie mille hai chiarito il mio dubbio