Funzione integrale con estremi altre funzioni
ciao come si studia una funzione integrale quando gli estremi di integrazione sono funzioni???
per esempio io ho provato a fare questa: $\int_{0}^{sin(x)} e^(-t^2) dt$ allora ho pensato che $sin(x)>0$ quando $x in (0 ; pi)$ mentre è $<0$ quando $x in (-pi; 0)$ allora la funzione sarà positiva nel primo intervallo mentre negativa nel secondo.è zero in zero. ora ho pensato di fare i limiti. quando $x to infty$ però non conoscendo il senx all'$infty$ mi trovo in difficoltà. come posso fare? avevo pensato anche di spezzare l'integrale ma non so se sia sensato e se lo è come spezzarlo.oppure posso restringere l'intervallo a $(-pi;pi)$ e calcolare l'integrale definito?invece per quanto riguarda la derivata ecc.. tutto a posto. mi potete controllare quello che ho fatto e casomai darmi una mano per i limiti? grazie mille
per esempio io ho provato a fare questa: $\int_{0}^{sin(x)} e^(-t^2) dt$ allora ho pensato che $sin(x)>0$ quando $x in (0 ; pi)$ mentre è $<0$ quando $x in (-pi; 0)$ allora la funzione sarà positiva nel primo intervallo mentre negativa nel secondo.è zero in zero. ora ho pensato di fare i limiti. quando $x to infty$ però non conoscendo il senx all'$infty$ mi trovo in difficoltà. come posso fare? avevo pensato anche di spezzare l'integrale ma non so se sia sensato e se lo è come spezzarlo.oppure posso restringere l'intervallo a $(-pi;pi)$ e calcolare l'integrale definito?invece per quanto riguarda la derivata ecc.. tutto a posto. mi potete controllare quello che ho fatto e casomai darmi una mano per i limiti? grazie mille
Risposte
io direi che il limite a $+infty$ non esiste: se prendi le successioni infinite $x_n:=npi$ e $y_n:=npi/2$ ottieni (posto $F(x):=int_0^sin(x)(exp(-t^2)dt)$)
$F(x_n)=0$, $F(y_n)!=0$ per ogni n. Quindi il limite non può esistere.
EDIT: naturalmente intendevo dire $F(y_n)!=0$ e costante, quindi anche $F(y_n)->text(qualcosa diverso da 0)$ mentre $F(x_n)->0$. in effetti quello che è scritto sopra non permetterebbe di concludere niente. sorry!
$F(x_n)=0$, $F(y_n)!=0$ per ogni n. Quindi il limite non può esistere.
EDIT: naturalmente intendevo dire $F(y_n)!=0$ e costante, quindi anche $F(y_n)->text(qualcosa diverso da 0)$ mentre $F(x_n)->0$. in effetti quello che è scritto sopra non permetterebbe di concludere niente. sorry!
Puoi leggere qui
https://www.matematicamente.it/forum/1-v ... l?&start=0
per avere un metodo su come affrontara lo studio delle funzioni integrali
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molto illuminante la spiegazione! sapete dove posso trovare esercizi anche difficilotti dei tipi proposti anche da Camillo con le soluzioni? per avere una controprova che faccio giusto o sbagliato. ciao grazie mille!!!!!
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