Funzione integrale che non riesco ad impostare

[10andry]

{tex} \int_{1/2}^{1/x}\frac{dt}{((t+1)(t^2 -1)^(1/3))} {/tex}

Devo determinare dominio, limiti agli estremi del dominio.

Poi devo disegnare il grafico qualitativo,

Infine devo studiare il dominio di G(x), che è la stessa funzione integrale, ma tra -1/X e 1/X


Quell' 1/X mi mette in difficoltà, e martedì mattina ho l'esame vi prego aiutatemi!


EDIT: non riesco a scrivere l'integrale fratto in formula...

[billyballo2123]

La funzione è questa?
\[
\int_{1/2}^{1/x}\frac{dt}{(t+1)(t^2 -1)^{1/3}}
\]
Nel caso fosse questa, io ti suggerisco di studiare prima qual è il dominio della funzione
\[
\int_{1/2}^{z}\frac{dt}{(t+1)(t^2 -1)^{1/3}},
\]
e successivamente dedurre il dominio della prima. Dovrebbe risultare $\mathbb{R}-[-1,0]$. Per calcolare i limiti alla frontiera del dominio la vedo dura L'unica cosa che mi viene da dire è che il limite della funzione è finito per $x$ che tende a $0^+$ e $\pm \infty$, mentre è infinito per $x$ che tende a $-1^-$.

[10andry]

Si la funzione è quella, grazie per l'imbeccata ora provo.
Il grafico qualitativo però essendoci 1/X cambia?

EDIT: non capisco perché hai escluso anche -1 dal dominio...

[billyballo2123]

"10andry":
Il grafico qualitativo però essendoci 1/X cambia?

Per studiare le monotonie devi usare il teorema della derivata composta: Se
\[
g(z)=\int_{1/2}^z\frac{dt}{(t+1)(t^2-1)^{1/3}}
\]
e $z(x)=\frac{1}{x}$, allora posto $f(x)=g(z(x))$ si ha che $f'(x)=g'(z(x))\cdot z'(x)$.

"10andry":
EDIT: non capisco perché hai escluso anche -1 dal dominio...

Perché ponendo $x=-1$ ottieni
\[
\int_{1/2}^{-1}\frac{dt}{(t+1)(t^2-1)^{1/3}}.
\]
Il problema è che questo integrale non esiste (diverge)

[10andry]

Ok, ho capito, avevo dimenticato di fare il limite in -1 e dal momento che diverge con ordine 1 non lo inserisco nel dominio. È corretto?
Adesso procedo l'esercizio Grazie ancora...

[billyballo2123]

Perfetto! Nota bene che non sono solo $0$ e $1$ ad essere esclusi dal dominio, ma tutto l'intervallo $[0,1]$.