Funzione integrale
Salve! Devo assolutamente capire come studiare le funzioni integrali!
Ho inziato oggi,e questo è il primo esercizio che faccio...potreste darmi una mano?
La funzione integrale è questa:
$\int_{1}^{x^2} (e^(sqrt(t)-1)/(e^tln(1+t))dt$
Dominio:
considero la funzione intergranda e vedo che è definita per $(0,+oo)$
il dominio di $F(x)$ è quindi $(0,+oo)$
Limiti alla frontiera:
$\lim_{x \to \0+}F(x)=-\int_{1}^{0} (e^(sqrt(t))-1)/(e^t(ln(1+t))dt$ $:=\lim_{\epsilon \to \0+}\int_{1}^{0}(e^(sqrt(t))-1)/(e^t(ln(1+t))$
per $t~~0$ $(e^(sqrt(t))-1)/(e^t(ln(1+t))$ $~~-1/(sqrt(t)e^t)=-(1/sqrt(t))+1/(tsqrt(t))$
come posso concludere?
$\lim_{x \to \+oo}F(x)=\int_{1}^{oo} (e^(sqrt(t))-1)/(e^t(ln(1+t))dt$ $:=\lim_{k \to \oo}\int_{1}^{oo}(e^(sqrt(t))-1)/(e^t(ln(1+t))$
per $t->+oo$ $(e^(sqrt(t))-1)/(e^t(ln(1+t))$ $<=(e^(sqrt(t))-1)/e^t$
anche in questo caso non riesco a concludere...
Devo sicuramente applicare il confronto asintotico per studiarli però non so se ci sono degli integrali di cui so a priori l'esistenza finita o meno...
Grazie per l'aiuto!
Ho inziato oggi,e questo è il primo esercizio che faccio...potreste darmi una mano?
La funzione integrale è questa:
$\int_{1}^{x^2} (e^(sqrt(t)-1)/(e^tln(1+t))dt$
Dominio:
considero la funzione intergranda e vedo che è definita per $(0,+oo)$
il dominio di $F(x)$ è quindi $(0,+oo)$
Limiti alla frontiera:
$\lim_{x \to \0+}F(x)=-\int_{1}^{0} (e^(sqrt(t))-1)/(e^t(ln(1+t))dt$ $:=\lim_{\epsilon \to \0+}\int_{1}^{0}(e^(sqrt(t))-1)/(e^t(ln(1+t))$
per $t~~0$ $(e^(sqrt(t))-1)/(e^t(ln(1+t))$ $~~-1/(sqrt(t)e^t)=-(1/sqrt(t))+1/(tsqrt(t))$
come posso concludere?
$\lim_{x \to \+oo}F(x)=\int_{1}^{oo} (e^(sqrt(t))-1)/(e^t(ln(1+t))dt$ $:=\lim_{k \to \oo}\int_{1}^{oo}(e^(sqrt(t))-1)/(e^t(ln(1+t))$
per $t->+oo$ $(e^(sqrt(t))-1)/(e^t(ln(1+t))$ $<=(e^(sqrt(t))-1)/e^t$
anche in questo caso non riesco a concludere...
Devo sicuramente applicare il confronto asintotico per studiarli però non so se ci sono degli integrali di cui so a priori l'esistenza finita o meno...
Grazie per l'aiuto!
Risposte
Per la prima conclusione: raccoglimento e minorazioni, mi sembra di vedere.
Seconda conclusione: stima asintotica e proprietà dell'esponenziale.
Seconda conclusione: stima asintotica e proprietà dell'esponenziale.
ok,sono arrivata alla prima conclusione,ossia che la funzione integrale al tendere di t a zero converge ad un certo $\alpha<0$...è giusto?
per la seconda conclusione non so quale proprietà dell'esponenziale usare...
per la seconda conclusione non so quale proprietà dell'esponenziale usare...
"gugo82":
@ImpaButty: Ma buttare un occhio qui, no?
E dire che è pure uno sticky, dovrebbe risaltare...
L'ho già letto! E ho anche preso appunti! n_n
In questo caso,il mio problema non riguarda tanto lo studio della funzione integrale nel suo complesso quanto la risoluzione degli integrali impropri...
Allora...
Per quanto riguarda [tex]$t\approx 0^+$[/tex] abbiamo:
[tex]$e^t \approx 1$[/tex], [tex]$\ln (1+t)\approx t$[/tex] ed [tex]$e^{\sqrt{t}}-1\approx \sqrt{t}$[/tex]
(per i limiti notevoli o gli sviluppi di Taylor notevoli che dir si voglia), ergo:
[tex]$\frac{e^{\sqrt{t}}-1}{e^t \ln (1+t)} \approx \frac{\sqrt{t}}{t} = \frac{1}{\sqrt{t}}$[/tex];
dato che [tex]$\tfrac{1}{\sqrt{t}}$[/tex] è infinita in [tex]$0$[/tex] d'ordine [tex]$\tfrac{1}{2}<1$[/tex], il tuo integrando è sommabile in [tex]$0$[/tex] per il criterio dell'ordine d'infinito.
Ne viene che la tua funzione integrale è prolungabile su [tex]$0$[/tex] con continuità.
Per quanto riguarda l'infinito hai:
[tex]$e^{\sqrt{t}} -1 \approx e^\sqrt{t}$[/tex],
quindi:
[tex]$\frac{e^{\sqrt{t}}-1}{e^t \ln (1+t)} \approx \frac{1}{e^{\sqrt{t}} \ln (1+t)}$[/tex];
essendo [tex]$\tfrac{1}{e^{\sqrt{t}} \ln (1+t)}$[/tex] infinitesimo d'ordine infinitamente grande in [tex]$+\infty$[/tex], il tuo integrando è sommabile in [tex]$+\infty$[/tex] per il criterio dell'ordine d'infinitesimo.
Ne consegue che la tua funzione integrale ha limite finito per [tex]$x\to +\infty$[/tex].
P.S.: Mi sa che devi rivedere l'insieme di definizione della funzione integrale nel suo complesso.
Chiediti: cosa fa l'estremo variabile [tex]$x^2$[/tex]?...
Per quanto riguarda [tex]$t\approx 0^+$[/tex] abbiamo:
[tex]$e^t \approx 1$[/tex], [tex]$\ln (1+t)\approx t$[/tex] ed [tex]$e^{\sqrt{t}}-1\approx \sqrt{t}$[/tex]
(per i limiti notevoli o gli sviluppi di Taylor notevoli che dir si voglia), ergo:
[tex]$\frac{e^{\sqrt{t}}-1}{e^t \ln (1+t)} \approx \frac{\sqrt{t}}{t} = \frac{1}{\sqrt{t}}$[/tex];
dato che [tex]$\tfrac{1}{\sqrt{t}}$[/tex] è infinita in [tex]$0$[/tex] d'ordine [tex]$\tfrac{1}{2}<1$[/tex], il tuo integrando è sommabile in [tex]$0$[/tex] per il criterio dell'ordine d'infinito.
Ne viene che la tua funzione integrale è prolungabile su [tex]$0$[/tex] con continuità.
Per quanto riguarda l'infinito hai:
[tex]$e^{\sqrt{t}} -1 \approx e^\sqrt{t}$[/tex],
quindi:
[tex]$\frac{e^{\sqrt{t}}-1}{e^t \ln (1+t)} \approx \frac{1}{e^{\sqrt{t}} \ln (1+t)}$[/tex];
essendo [tex]$\tfrac{1}{e^{\sqrt{t}} \ln (1+t)}$[/tex] infinitesimo d'ordine infinitamente grande in [tex]$+\infty$[/tex], il tuo integrando è sommabile in [tex]$+\infty$[/tex] per il criterio dell'ordine d'infinitesimo.
Ne consegue che la tua funzione integrale ha limite finito per [tex]$x\to +\infty$[/tex].
P.S.: Mi sa che devi rivedere l'insieme di definizione della funzione integrale nel suo complesso.
Chiediti: cosa fa l'estremo variabile [tex]$x^2$[/tex]?...
Grazie gugo!
ok,sul primo integrale ci sono,l'avevo risolto proprio in questo modo,con gli sviluppi di Taylor...
non riesco però a capire in base a quale ragionamento hai fatto la stima asintotica per $t->+oo$
per quanto riguarda gli estremi del dominio,mi sono studiata tutti gli esercizi svolti in classe dalla prof e lei per definire il dominio della funzione integrale va a guardare dove è definita la funzione integranda, ei n questo caso lo è per $(0,+oo)$...cosa mi sto perdendo?!
ok,sul primo integrale ci sono,l'avevo risolto proprio in questo modo,con gli sviluppi di Taylor...
non riesco però a capire in base a quale ragionamento hai fatto la stima asintotica per $t->+oo$
per quanto riguarda gli estremi del dominio,mi sono studiata tutti gli esercizi svolti in classe dalla prof e lei per definire il dominio della funzione integrale va a guardare dove è definita la funzione integranda, ei n questo caso lo è per $(0,+oo)$...cosa mi sto perdendo?!
...stavo riflettendoci sù e ho notato che per fare il confronto asintotico per t che tende all'infinito hai usato lo sviluppo di taylor di $e^sqrt(t)$.
Credevo si potesse fare solo quanto $t->0$..è possibile anche nel caso$t->+oo$?
Credevo si potesse fare solo quanto $t->0$..è possibile anche nel caso$t->+oo$?
Per quanto riguarda l'insieme di definizione, osserva che la tua funzione [tex]$f(x)$[/tex] è composta da:
[tex]$g(y)=\int_1^y \frac{e^{\sqrt{t}} -1}{e^t \ln (1+t)}\ \text{d} t$[/tex] ed [tex]$h(x)=x^2$[/tex],
ossia hai [tex]$f(x)=g(h(x))$[/tex].
Il dominio di [tex]$g(y)$[/tex] è [tex]$D_g=[0,+\infty[$[/tex], il dominio di [tex]$h(x)$[/tex] è [tex]$D_h=\mathbb{R}$[/tex] e, come ben sai, il modo per determinare il dominio di [tex]$f(x)=g(h(x))$[/tex] è determinare tutti gli [tex]$x\in D_h$[/tex] tali che [tex]$h(x)\in D_g$[/tex]: ma per ogni [tex]$x\in D_h$[/tex] si ha [tex]$h(x)=x^2\geq 0$[/tex], quindi [tex]$h(x)\in D_g$[/tex] per ogni [tex]$x\in D_h$[/tex].
Ne consegue che il dominio della funzione composta è [tex]$D_f=D_h=\mahtbb{R}$[/tex].
Che il dominio di [tex]$f(x)$[/tex] fosse tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex] l'avresti potuto intuire qualora avessi osservato che la tua funzione è, di fatto, pari: infatti, fissato [tex]$x$[/tex], si ha [tex]$f(-x)=f(x)$[/tex], perciò se [tex]$x\geq 0$[/tex] sta nel dominio di [tex]$f(x)$[/tex], allora anche [tex]$-x\leq 0$[/tex] ha da stare nel dominio di [tex]$f(x)$[/tex].
Per quanto riguarda lo sviluppo di Taylor in [tex]$+\infty$[/tex], non capisco cosa tu intenda.
Infatti la relazione [tex]$e^{\sqrt{t}} -1\approx e^{\sqrt{t}}$[/tex] si ricava dal fatto che [tex]\lim_{t\to +\infty} \frac{e^{\sqrt{t}} -1}{e^{\sqrt{t}}} =1[/tex] e non da un fantomatico sviluppo di Taylor in [tex]$+\infty$[/tex] (che non esiste).
[tex]$g(y)=\int_1^y \frac{e^{\sqrt{t}} -1}{e^t \ln (1+t)}\ \text{d} t$[/tex] ed [tex]$h(x)=x^2$[/tex],
ossia hai [tex]$f(x)=g(h(x))$[/tex].
Il dominio di [tex]$g(y)$[/tex] è [tex]$D_g=[0,+\infty[$[/tex], il dominio di [tex]$h(x)$[/tex] è [tex]$D_h=\mathbb{R}$[/tex] e, come ben sai, il modo per determinare il dominio di [tex]$f(x)=g(h(x))$[/tex] è determinare tutti gli [tex]$x\in D_h$[/tex] tali che [tex]$h(x)\in D_g$[/tex]: ma per ogni [tex]$x\in D_h$[/tex] si ha [tex]$h(x)=x^2\geq 0$[/tex], quindi [tex]$h(x)\in D_g$[/tex] per ogni [tex]$x\in D_h$[/tex].
Ne consegue che il dominio della funzione composta è [tex]$D_f=D_h=\mahtbb{R}$[/tex].
Che il dominio di [tex]$f(x)$[/tex] fosse tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex] l'avresti potuto intuire qualora avessi osservato che la tua funzione è, di fatto, pari: infatti, fissato [tex]$x$[/tex], si ha [tex]$f(-x)=f(x)$[/tex], perciò se [tex]$x\geq 0$[/tex] sta nel dominio di [tex]$f(x)$[/tex], allora anche [tex]$-x\leq 0$[/tex] ha da stare nel dominio di [tex]$f(x)$[/tex].
Per quanto riguarda lo sviluppo di Taylor in [tex]$+\infty$[/tex], non capisco cosa tu intenda.
Infatti la relazione [tex]$e^{\sqrt{t}} -1\approx e^{\sqrt{t}}$[/tex] si ricava dal fatto che [tex]\lim_{t\to +\infty} \frac{e^{\sqrt{t}} -1}{e^{\sqrt{t}}} =1[/tex] e non da un fantomatico sviluppo di Taylor in [tex]$+\infty$[/tex] (che non esiste).
ok,per quanto riguarda lo svilupo di Taylor,ho detto una stupidaggine,non ricordavo il limite notevole... -_-''
per quanto riguarda il dominio,wow,sono un po' spiazzata perchè la mia prof non ha mai fatto considerazioni del genere quando ha studiato il dominio di una funzione integrale,che invece vanno fatte!
Se non me l'avessi fatto notare avrei risolto l'esercizio sbagliando già il primo passaggio...il dominio! :S
Grazie gugo!
per quanto riguarda il dominio,wow,sono un po' spiazzata perchè la mia prof non ha mai fatto considerazioni del genere quando ha studiato il dominio di una funzione integrale,che invece vanno fatte!
Se non me l'avessi fatto notare avrei risolto l'esercizio sbagliando già il primo passaggio...il dominio! :S
Grazie gugo!
Se la tua situazione è quella, ti consiglio di leggere il post https://www.matematicamente.it/forum/stu ... 25340.html
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