Funzione integrale
Salve ragazzi, devo studiare questa funzione integrale $\int_0^x(t-1)/sqrt(2-t^2)dt$
Ho letto il 3d di camillo però ho qualche dubbio...
Io inizialmente ho studiato la funzione $f(t)=(t-1)/sqrt(2-t^2)$ e trovo che è definita per $-sqrt(2)0$ per $t>1$ e mi calcolo gli asintoti.(Spero di non aver commesso qualche errore in questa prima parte <.<)
Dopo passo, come suggerito, allo studio di $f(x)=\int_0^x(t-1)/sqrt(2-t^2)dt$ e procedo come segue:
Studio del segno: $x>0 -> f(x)>0$ ; $x<0 -> f(x)=-\int_x^o(t-1)/sqrt(2-t^2)dt>0$ (1. in questo caso devo vedere il grafico di $f(t)$ e notando che per $x<0$ l'area è negativa ma con il meno davanti $f(x)$ diviene positiva??)
2. A questo punto devo studiare il limite tendente a $+-infty$ e agli altri punti di discontinuità di $f(t)$, ma come dovrei procedere? calcolando il limite come ho fatto nello studio di $f(t)$?
Infine mi calcolo la derivata prima $f'(x)=(t-1)/sqrt(2-t^2)$ $f'(x)>=0 -> x>=1$
Principalmente i dubbi sono quelli che ho evidenziato. Se commetto altri errori ditemelo, perchè ho un pò di confusione su questo argomento come potete notare =P
Grazie anticipatamente ^^
Ho letto il 3d di camillo però ho qualche dubbio...
Io inizialmente ho studiato la funzione $f(t)=(t-1)/sqrt(2-t^2)$ e trovo che è definita per $-sqrt(2)
Dopo passo, come suggerito, allo studio di $f(x)=\int_0^x(t-1)/sqrt(2-t^2)dt$ e procedo come segue:
Studio del segno: $x>0 -> f(x)>0$ ; $x<0 -> f(x)=-\int_x^o(t-1)/sqrt(2-t^2)dt>0$ (1. in questo caso devo vedere il grafico di $f(t)$ e notando che per $x<0$ l'area è negativa ma con il meno davanti $f(x)$ diviene positiva??)
2. A questo punto devo studiare il limite tendente a $+-infty$ e agli altri punti di discontinuità di $f(t)$, ma come dovrei procedere? calcolando il limite come ho fatto nello studio di $f(t)$?
Infine mi calcolo la derivata prima $f'(x)=(t-1)/sqrt(2-t^2)$ $f'(x)>=0 -> x>=1$
Principalmente i dubbi sono quelli che ho evidenziato. Se commetto altri errori ditemelo, perchè ho un pò di confusione su questo argomento come potete notare =P
Grazie anticipatamente ^^
Risposte
sfogliando diversi testi ho letto in un esempio che per trovare gli asintoti si consiglia di confrontare la funzione integrale con la funzione $\int_0^infty1/x^alphadx$ e se $alpha>1$ converge altrimenti diverge..però non riesco a capire come dovrei confrontarla...chi mi aiuta?
P.S.: qui precisa che va usato questo procedimento nel caso in cui l'integrale sia nella forma polinomi, in caso contrario si rimanda alla risoluzione dell'integrale O_o
grz anticipatamente..
P.S.: qui precisa che va usato questo procedimento nel caso in cui l'integrale sia nella forma polinomi, in caso contrario si rimanda alla risoluzione dell'integrale O_o
grz anticipatamente..
Il segno non va bene.
Per $x \in (0, 1]$ la funzione integranda è negativa, quindi anche la funzione integrale $F$ lo è.
Dopo potrebbe cambiare segno; bisogna vedere se $\lim_{x\to \sqrt{2}-} F(x)$ è positivo o negativo.
Per inciso, i due limiti a $\sqrt{2}-$ e a $-\sqrt{2}+$ di $F$ esistono finiti, dal momento che a denominatore hai uno zero di ordine $1/2$.
Per $x \in (0, 1]$ la funzione integranda è negativa, quindi anche la funzione integrale $F$ lo è.
Dopo potrebbe cambiare segno; bisogna vedere se $\lim_{x\to \sqrt{2}-} F(x)$ è positivo o negativo.
Per inciso, i due limiti a $\sqrt{2}-$ e a $-\sqrt{2}+$ di $F$ esistono finiti, dal momento che a denominatore hai uno zero di ordine $1/2$.
ah già hai ragione...quindi per $00$ no?
cmq mi interessa soprattutto come si calcolano gli asintoti =(
cmq mi interessa soprattutto come si calcolano gli asintoti =(
Per $-\sqrt{2}0$ dal momento che $f(t) = \frac{t-1}{\sqrt{2-t^2}} < 0$.
Per quanto riguarda i limiti di cui ti ho parlato prima:
per $x\to \sqrt{2}-$ (e analogamente per l'altro limite) puoi confrontare la funzione con l'infinito campione
$g(x) = \frac{1}{|x-\sqrt{2}|^\alpha$.
In questo caso hai un limite finito e diverso da $0$ per $\alpha = 1/2$.
Poiché, per $\alpha < 1$ (e dunque anche per $\alpha=1/2$), $g$ è integrabile in senso generalizzato in un intorno di $\sqrt{2}$, concludi che anche $f$ lo è, quindi il $\lim_{x\to\sqrt{2}-} F(x)$ esiste finito.
Per quanto riguarda i limiti di cui ti ho parlato prima:
per $x\to \sqrt{2}-$ (e analogamente per l'altro limite) puoi confrontare la funzione con l'infinito campione
$g(x) = \frac{1}{|x-\sqrt{2}|^\alpha$.
In questo caso hai un limite finito e diverso da $0$ per $\alpha = 1/2$.
Poiché, per $\alpha < 1$ (e dunque anche per $\alpha=1/2$), $g$ è integrabile in senso generalizzato in un intorno di $\sqrt{2}$, concludi che anche $f$ lo è, quindi il $\lim_{x\to\sqrt{2}-} F(x)$ esiste finito.
ok perfetto..
solo una cosa..per calcolarmi il limite devo dunque scegliere un'altra funzione?(tipo tu hai utilizzato $1/(|x-sqrt(2)|^alpha)$
1) come faccio a sceglierlo?
2) una volta che l'ho scelto devo calcolare il limite del rapporto delle 2 funzioni?
solo una cosa..per calcolarmi il limite devo dunque scegliere un'altra funzione?(tipo tu hai utilizzato $1/(|x-sqrt(2)|^alpha)$
1) come faccio a sceglierlo?
2) una volta che l'ho scelto devo calcolare il limite del rapporto delle 2 funzioni?
Devi stabilire se l'integrale generalizzato converge o meno.
Il criterio più semplice di confronto è di questo tipo:
se $f$ e $g$ sono continue e positive in $[a,b)$ e $\lim_{x\to b-} \frac{f(x)}{g(x)}$ esiste finito diverso da $0$, allora gli integrali generalizzati $\int_a^b f$ e $\int_a^b g$ o sono entrambi convergenti oppure divergono entrambi a $+\infty$.
Poiché $\int_a^b \frac{1}{|x-b|^\alpha}dx$ esiste finito se e solo se $\alpha < 1$ (si calcola esplicitamente), è comodo usare il criterio di confronto appena citato usando $g(x) = \frac{1}{|x-b|^\alpha}$ (ma potresti usare anche qualsiasi altra funzione di cui ti sia nota la convergenza o divergenza dell'integrale improprio).
Nel tuo caso, con $g(x) = \frac{1}{|x-\sqrt{2}|^\alpha}$, hai che
$\lim_{x\to\sqrt{2}-} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}$ quando $\alpha = 1/2$, mentre il limite vale $0$ per $\alpha < 1/2$ e $+\infty$ per $\alpha > 1/2$.
Il criterio più semplice di confronto è di questo tipo:
se $f$ e $g$ sono continue e positive in $[a,b)$ e $\lim_{x\to b-} \frac{f(x)}{g(x)}$ esiste finito diverso da $0$, allora gli integrali generalizzati $\int_a^b f$ e $\int_a^b g$ o sono entrambi convergenti oppure divergono entrambi a $+\infty$.
Poiché $\int_a^b \frac{1}{|x-b|^\alpha}dx$ esiste finito se e solo se $\alpha < 1$ (si calcola esplicitamente), è comodo usare il criterio di confronto appena citato usando $g(x) = \frac{1}{|x-b|^\alpha}$ (ma potresti usare anche qualsiasi altra funzione di cui ti sia nota la convergenza o divergenza dell'integrale improprio).
Nel tuo caso, con $g(x) = \frac{1}{|x-\sqrt{2}|^\alpha}$, hai che
$\lim_{x\to\sqrt{2}-} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}$ quando $\alpha = 1/2$, mentre il limite vale $0$ per $\alpha < 1/2$ e $+\infty$ per $\alpha > 1/2$.
"gac":
$\lim_{x\to\sqrt{2}-} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}$ quando $\alpha = 1/2$, mentre il limite vale $0$ per $\alpha < 1/2$ e $+\infty$ per $\alpha > 1/2$.
puoi spiegarmi il calcolo che hai fatto?:S
Basta osservare che, per $|t|<\sqrt{2}$,
$f(t) = \frac{t-1}{\sqrt{(\sqrt{2}+t)(\sqrt{2}-t)}} = \frac{t-1}{\sqrt{\sqrt{2}+t}} \frac{1}{|t-\sqrt{2}|^{1/2}}$.
$f(t) = \frac{t-1}{\sqrt{(\sqrt{2}+t)(\sqrt{2}-t)}} = \frac{t-1}{\sqrt{\sqrt{2}+t}} \frac{1}{|t-\sqrt{2}|^{1/2}}$.
no dico come ottieni quei valori al denominatore? mi sa che mi sono perso un passaggio..
$2-t^2= (\sqrt{2}-t)(\sqrt{2}+t)$ (differenza di due quadrati).
"gac":
Basta osservare che, per $|t|<\sqrt{2}$,
$f(t) = \frac{t-1}{\sqrt{(\sqrt{2}+t)(\sqrt{2}-t)}} = \frac{t-1}{\sqrt{\sqrt{2}+t}} \frac{1}{|t-\sqrt{2}|^{1/2}}$.
scusa se insisto..ma $sqrt(2)-t$ dove finisce?
Se $t<\sqrt{2}$, allora $\sqrt{2} - t = |t-\sqrt{2}|$.
"gac":
$\lim_{x\to\sqrt{2}-} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}$ quando $\alpha = 1/2$, mentre il limite vale $0$ per $\alpha < 1/2$ e $+\infty$ per $\alpha > 1/2$.
ahhhh ok ci sono..non ho capito solo la parte sottolineata, cioè come arrivo a quella conclusione?
Una volta che hai visto che $f(x) = $(roba continua e maggiore di 0 in $\sqrt{2}$) $\frac{1}{|t-\sqrt{2}|^{1/2}$, basta calcolare il limite.
Lasciando perdere la "roba continua..." ti viene un limite del tipo
$\lim_{x\to\sqrt{2}-} \frac{|x-\sqrt{2}|^{\alpha}}{|x-\sqrt{2}|^{1/2}} = \lim_{x\to\sqrt{2}-} |x-\sqrt{2}|^{\alpha-1/2}$
e a questo punto il risultato dovrebbe essere chiaro.
Lasciando perdere la "roba continua..." ti viene un limite del tipo
$\lim_{x\to\sqrt{2}-} \frac{|x-\sqrt{2}|^{\alpha}}{|x-\sqrt{2}|^{1/2}} = \lim_{x\to\sqrt{2}-} |x-\sqrt{2}|^{\alpha-1/2}$
e a questo punto il risultato dovrebbe essere chiaro.
perfetto..se fossi donna ti sposerei xD
ora provo a fare un altro esercizio per vedere se ho capito bene..l'unico problema ke mi rimane è trovare la $g(x)$..
ora provo a fare un altro esercizio per vedere se ho capito bene..l'unico problema ke mi rimane è trovare la $g(x)$..
P.S.: Quando studio gli asintoti della funzione integrale devo calcolare i limiti tendenti sia a +infinito che a -infinito? oppure in base al tipo di integrale ne faccio uno? (se è cosi da dove lo vedo? dagli estremi?)
In questo caso la funzione integrale è definita in $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$...
ah giusto <.<
cmq ho provato quest'altra: (è molto simile)
$\int_0^x(1+t)e^(-1/t)dt$
studio di $f(t)$:
Dominio: $t!=0$
ci dovrebbe essere l'asintoto obliquo (non mi sono soffermato su questa prima parte)
Studio di $f(x)$
studio segno: per $x>0 -> f(x)>0$; per $-1 f(x)<0$; per $x<-1 -> f(x)>0$
asintoti: $lim_(x->infty)\int_0^x(1+t)e^(-1/t)$
prendo $g(x)=1/|x+1|^alpha$
$lim_(x->+infty)\int_0^x((1+t)e^(-1/t))/(1+t)^alpha$ che per $alpha=1$ il limite è finito$=1$, per $alpha!=1$ il limite è$=0$
dimmi che ho sbagliato tutto xD (mi sono fermato qua per non fare ulteriori errori)
cmq ho provato quest'altra: (è molto simile)
$\int_0^x(1+t)e^(-1/t)dt$
studio di $f(t)$:
Dominio: $t!=0$
ci dovrebbe essere l'asintoto obliquo (non mi sono soffermato su questa prima parte)
Studio di $f(x)$
studio segno: per $x>0 -> f(x)>0$; per $-1
asintoti: $lim_(x->infty)\int_0^x(1+t)e^(-1/t)$
prendo $g(x)=1/|x+1|^alpha$
$lim_(x->+infty)\int_0^x((1+t)e^(-1/t))/(1+t)^alpha$ che per $alpha=1$ il limite è finito$=1$, per $alpha!=1$ il limite è$=0$
dimmi che ho sbagliato tutto xD (mi sono fermato qua per non fare ulteriori errori)
La funzione integrale $F(x)$ è definita su $[0,+\infty)$, dal momento che la $f(t)$ non è integrabile in un intorno sinistro di $0$.
Per l'asintoto obliquo, devi innanzi tutto vedere se esiste finito
$\lim_{x\to +infty} F(x)$ (vale a dire, devi vedere se la funzione $f$ è integrabile in senso generalizzato su $[0,+\infty)$).
In questo caso tale limite vale $+\infty$.
Adesso puoi andare a vedere se esiste finito
$\lim_{x\to +\infty} \frac{F(x)}{x}$.
Quando si ha a che fare con le funzioni integrali è spesso utile provare a calcolare questo limite usando la regola di l'Hopital, in quanto il limite del rapporto delle derivate è
$\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty$,
quindi non esiste asintoto obliquo.
Non ho invece capito cosa stai facendo con la $g(x)$...
Per l'asintoto obliquo, devi innanzi tutto vedere se esiste finito
$\lim_{x\to +infty} F(x)$ (vale a dire, devi vedere se la funzione $f$ è integrabile in senso generalizzato su $[0,+\infty)$).
In questo caso tale limite vale $+\infty$.
Adesso puoi andare a vedere se esiste finito
$\lim_{x\to +\infty} \frac{F(x)}{x}$.
Quando si ha a che fare con le funzioni integrali è spesso utile provare a calcolare questo limite usando la regola di l'Hopital, in quanto il limite del rapporto delle derivate è
$\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty$,
quindi non esiste asintoto obliquo.
Non ho invece capito cosa stai facendo con la $g(x)$...
mi sono basato sull'esempio di prima..per calcolarmi il limite non devo sempre confrontarla con un'altra funzione?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo