Funzione integrale

skorpion89-votailprof
Salve ragazzi, devo studiare questa funzione integrale $\int_0^x(t-1)/sqrt(2-t^2)dt$
Ho letto il 3d di camillo però ho qualche dubbio...
Io inizialmente ho studiato la funzione $f(t)=(t-1)/sqrt(2-t^2)$ e trovo che è definita per $-sqrt(2)0$ per $t>1$ e mi calcolo gli asintoti.(Spero di non aver commesso qualche errore in questa prima parte <.<)

Dopo passo, come suggerito, allo studio di $f(x)=\int_0^x(t-1)/sqrt(2-t^2)dt$ e procedo come segue:
Studio del segno: $x>0 -> f(x)>0$ ; $x<0 -> f(x)=-\int_x^o(t-1)/sqrt(2-t^2)dt>0$ (1. in questo caso devo vedere il grafico di $f(t)$ e notando che per $x<0$ l'area è negativa ma con il meno davanti $f(x)$ diviene positiva??)
2. A questo punto devo studiare il limite tendente a $+-infty$ e agli altri punti di discontinuità di $f(t)$, ma come dovrei procedere? calcolando il limite come ho fatto nello studio di $f(t)$?
Infine mi calcolo la derivata prima $f'(x)=(t-1)/sqrt(2-t^2)$ $f'(x)>=0 -> x>=1$

Principalmente i dubbi sono quelli che ho evidenziato. Se commetto altri errori ditemelo, perchè ho un pò di confusione su questo argomento come potete notare =P

Grazie anticipatamente ^^

Risposte
gac1
C'era un errore (che adesso ho corretto) nel mio post precedente.
Lo scopo è sempre quello di stabilire se una funzione è integrabile in senso generalizzato o no; per arrivare al risultato, spesso (ma non necessariamente sempre) è utile il confronto con altre funzioni di cui si conosce l'integrabilità.

skorpion89-votailprof
ma scusa nella funzione $1/|x+1|^alpha$ non posso dire che converge? (mi sto basando soprattutto sul primo esercizio, è la prima volta che faccio confronti)

gac1
Su $[0,+\infty)$ la funzione $\frac{1}{|x+1|^\alpha$ è integrabile in senso generalizzato se e solo se $\alpha > 1$.
In questo caso, se fai il confronto, per avere il limite finito devi avere $\alpha = 1$.

skorpion89-votailprof
si hai ragione...
cmq ora scrivo una cosa, dimmi se è una cavolata mostruosa oppure se ho afferrato il concetto...
se ho $lim_(x->-1^-)\int_0^x(1+t)e^(-1/t)=lim_(x->-1^-)\int_-1^0-(1+t)e^(-1/t)=0$ è corretto o sbagliatissimo? (ho usato dei calcoli come un normale limite..)

p.s.: grazie per l'aiuto che mi stai dando

skorpion89-votailprof
rinnovo la domanda di prima e ne faccio un'altra..xD

$f(x)=\int_1^xe^-tsqrt(t^2+2)/tdt$

Dominio di $f(t)$: $x!=0$
Studio del segno di $f(t)$: $f(t)>0$ per $t>0$


Studio del segno di $f(x)$:
per $x>1 -> f(x)>0$
per $0 f(x)<0$
per $x<0 -> f(x)>0$

Studio monotonia: $f'(x)>0 = e^-tsqrt(t^2+2)/t>0 -> t>0$ quindi è crescente da $0$ in poi e decrescente per valori negativi.
La derivata prima esiste ed è positiva per $x>0$
La derivata seconda esiste ed è sempre negativa (a meno di errori nel calcolo che ho fatto)
La derivata terza non l'ho calcolata perchè verrebbe qualcosa di immenso, ma nonostante questo posso concludere che la funzione è derivabile infinite volte?(se si, quest'affermazione è utile ai fini dello studio della funzione oppure potrei pure evitarla?)

La mia domanda finale è: basta questo nello studio di una funzione integrale? Certo così tralascerei gli asintoti nella funzione integrale...

skorpion89-votailprof
UP: mi rispondete solo all'ultima domanda? grzz

dissonance
[mod="dissonance"]
"Regolamento":
3.4 Evitare sollecitazioni del tipo "up" per almeno 3 giorni dalla domanda posta: il forum è frequentato e animato da appassionati che non hanno nessun obbligo di risposta.
Ho capito che hai fretta ma renditi conto che facendo UP in questa maniera togli spazio agli altri. Non ne fare più altrimenti ti dovrò chiudere il topic. [/mod]

skorpion89-votailprof
ok scusatemi

dissonance
"Sutekh":
La derivata terza non l'ho calcolata perchè verrebbe qualcosa di immenso, ma nonostante questo posso concludere che la funzione è derivabile infinite volte?

Questo non potresti concluderlo neanche calcolando la derivata cinquantesima. L'unica maniera meccanica che hai di dire questo a priori è sapere che la funzione integranda è derivabile infinite volte. In tutti gli altri casi devi fabbricare un ragionamento ad hoc.

(se si, quest'affermazione è utile ai fini dello studio della funzione oppure potrei pure evitarla?)

La mia domanda finale è: basta questo nello studio di una funzione integrale? Certo così tralascerei gli asintoti nella funzione integrale...
Questo dipende da che cosa si intenda per "studio di funzione". Contrariamente a quanto si pensi, questo termine non significa niente. Tuttavia, in generale negli esami di analisi si richiede, data una funzione reale di variabile reale, di determinarne gli intervalli di monotonia e di convessità (in genere lo si fa studiando le derivate prime e seconde) e i massimi - minimi - flessi (idem). Il resto dipende dall'esame: a volte si richiedono le intersezioni con gli assi, altre gli asintoti, altre ancora la classe di derivabilità... Anche qui, non puoi pensare di prepararti una ricetta meccanica che vada bene per tutti i casi.

skorpion89-votailprof
il problema è che appunto mi si richiede il grafico...ma senza asintoti della $f(x)$ viene incompleto in effetti no?

dissonance
Si, viene incompleto perché ti perdi le informazioni sul comportamento all'infinito della funzione. Ma bisogna vedere se è possibile calcolare esplicitamente gli asintoti. Spesso non si può fare, o si può fare solo con tecniche superiori.

skorpion89-votailprof
io appunto volevo evitare questo passaggio proprio perchè commetto molti errori in merito :S
vabè allora rivedo un pò tutto e provo a capirli perchè mi sa che sono fondamentali...
ma quindi se mi si chiede lo studio di una funzione integrale e di tracciarne il grafico, oltre quello che ho scritto (breve studio dell'integranda, studio del segno di $f(x)$, studio derivata prima e seconda di $f(x), e asintoti) non c'è altro che dimentico?

gac1
Il limite a $-1-$ non si può fare, visto che il dominio della funzione integrale è $[0,+\infty)$.
Per l'ultima funzione che hai postato il dominio è $(0,+\infty)$, visto che la funzione integranda non è integrabile in un intorno di $0$ (si comporta come $\sqrt{2}/t$, che non è integrabile).
Visto che la funzione integranda è sempre positiva in $(0,+\infty)$, la funzione integrale è positiva per $x>1$, negativa per $0 La derivata è positiva in $(0,+\infty)$, quindi la funzione è crescente.
$\lim_{x\to 0+} F(x) = -\infty$, per quanto già detto sull'integrabilità nell'origine.
Invece $\lim_{x\to +\infty} F(x)$ è finito, visto che la funzione integranda è integrabile in senso generalizzato su $[1,+\infty)$.
La derivata seconda è negativa, quindi la funzione è concava.
Delle altre derivate di norma non c'è bisogno per uno studio di funzione.

EDIT: questo msg risponde a una richiesta fatta 8 o 9 msg fa...

skorpion89-votailprof
grazie mille gac..cmq mi dici se il limite tendente ad inifinito ti risulta uguale a $0$?

gac1
Non può venire $0$.
E' l'integrale di una funzione positiva, quindi sarà un numero positivo.

skorpion89-votailprof
scusa in questo caso io ho che $sqrt(t^2+2)/t$ è positiva e continua no? quindi non devo considerare solo $1/e^t$?

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