Funzione integrale
Ciao a tutti raga potreste darmi qualche chiarimento su questa funzione integrale?
$F(x)=int_(0)^(x) sqrt(arctg((t+2)/t))dt$.Allora io ho ragionato così mi sn calcolato il Dominio della funzione integranda:$\{(arctg((t+2)/t)>=0),(t!=0):}$ e quindi ottengo come risultato $]-\infty,-2] U ]0,+\infty[$; ma ora osservando la funzione integranda ve do che anche se $t=0$ la funzione $arctg$ esiste cmq.Dove ho sbagliato?.Quindi mi chiedo nel dominio della funzione integrale devo includere anche lo 0?E per quanto iguarda il $-2$ posso includere anche questo?
$F(x)=int_(0)^(x) sqrt(arctg((t+2)/t))dt$.Allora io ho ragionato così mi sn calcolato il Dominio della funzione integranda:$\{(arctg((t+2)/t)>=0),(t!=0):}$ e quindi ottengo come risultato $]-\infty,-2] U ]0,+\infty[$; ma ora osservando la funzione integranda ve do che anche se $t=0$ la funzione $arctg$ esiste cmq.Dove ho sbagliato?.Quindi mi chiedo nel dominio della funzione integrale devo includere anche lo 0?E per quanto iguarda il $-2$ posso includere anche questo?
Risposte
Se l'integrando si prolunga con continuità su $0$, allora non c'è differenza tra integrare $\sqrt(arctg((t+2)/t))$ od il suo prolungamento continuo. Quindi puoi considerare la funzione integrale definita in $0$.
Per il $-2$ le considerazioni da fare sono di ordine diverso.
Quando scrivi $\int_0^x$ con $x<0$, intendi dire che stai integrando su tutto l'intervallo $[x,0]$ e stai cambiando segno all'integrale (infatti è nota la regola $\int_0^x =-\int_x^0$); ora l'integrando non è definito nella totalità di nessun intervallo del tipo $[x,0]$ con $x<0$ (infatti esso è definito solo in $]-oo,-2]\cap [x,0]=\emptyset " oppure " [x,-2]$, per quanto hai detto prima), quindi non ha senso integrare su tutto $[x,0]$.
***
In generale si ragiona così: prendi $f(x)$ definita e continua in un insieme $D\subseteq RR$ ed $x_0 \in RR$ e considera la funzione integrale $F(x)=\int_(x_0)^xf(t)" d"t$.
Se $x_0 \in D$, la funzione integrale $F$ è definita nel più grande intervallo $I \subseteq D$ che contiene $x_0$; invece, se $x_0\notin D$ si possono presentare diversi casi: alcuni di essi (che si incontrano sovente) li riporto di seguito:
- $x_0$ è una discontinuità eliminabile per $f$: in tal caso, $F$ è definita nel più grande intervallo $I\subseteq D\cup \{ x_0\}$ contenente $x_0$;
- $x_0$ è una discontinuità non eliminabile di prima specie per $f$ (cioè $f$ ha un salto in $x_0$): in tal caso vale ugualmente quanto detto nel caso precedente;
- $x_0$ è una discontinuità di seconda specie per $f$ (cioè $lim_(x\to x_0) |f(x)|=+oo$): in tal caso si procede con uno studio della sommabilità (o assuluta integrabilità) di $f$ in $x_0$; se $f$ è sommabile in $x_0$, allora la $F$ è definita come sopra, mentre se $f$ non è sommabile in $x_0$ la $F$ non è ben definita dall'assegnazione (ad esempio, $F$ potrebbe valere ovunque $+oo$, come ad esempio $\int_0^x 1/t " d"t$).
In ogni caso il dominio di $F$ ha da essere necessariamente un intervallo!
Questo intervallo si "ferma" dove si incontra delle discontinuità per l'integrando $f$ attorno alle quali l'integrale crea problemi: ad esempio $\int_1^x 1/t" d"t$ è definita in $]0,+oo[$ e nota che $0$ è un punto di discontinuità per $f$ attorno al quale $f$ non è sommabile.
Per il $-2$ le considerazioni da fare sono di ordine diverso.
Quando scrivi $\int_0^x$ con $x<0$, intendi dire che stai integrando su tutto l'intervallo $[x,0]$ e stai cambiando segno all'integrale (infatti è nota la regola $\int_0^x =-\int_x^0$); ora l'integrando non è definito nella totalità di nessun intervallo del tipo $[x,0]$ con $x<0$ (infatti esso è definito solo in $]-oo,-2]\cap [x,0]=\emptyset " oppure " [x,-2]$, per quanto hai detto prima), quindi non ha senso integrare su tutto $[x,0]$.
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In generale si ragiona così: prendi $f(x)$ definita e continua in un insieme $D\subseteq RR$ ed $x_0 \in RR$ e considera la funzione integrale $F(x)=\int_(x_0)^xf(t)" d"t$.
Se $x_0 \in D$, la funzione integrale $F$ è definita nel più grande intervallo $I \subseteq D$ che contiene $x_0$; invece, se $x_0\notin D$ si possono presentare diversi casi: alcuni di essi (che si incontrano sovente) li riporto di seguito:
- $x_0$ è una discontinuità eliminabile per $f$: in tal caso, $F$ è definita nel più grande intervallo $I\subseteq D\cup \{ x_0\}$ contenente $x_0$;
- $x_0$ è una discontinuità non eliminabile di prima specie per $f$ (cioè $f$ ha un salto in $x_0$): in tal caso vale ugualmente quanto detto nel caso precedente;
- $x_0$ è una discontinuità di seconda specie per $f$ (cioè $lim_(x\to x_0) |f(x)|=+oo$): in tal caso si procede con uno studio della sommabilità (o assuluta integrabilità) di $f$ in $x_0$; se $f$ è sommabile in $x_0$, allora la $F$ è definita come sopra, mentre se $f$ non è sommabile in $x_0$ la $F$ non è ben definita dall'assegnazione (ad esempio, $F$ potrebbe valere ovunque $+oo$, come ad esempio $\int_0^x 1/t " d"t$).
In ogni caso il dominio di $F$ ha da essere necessariamente un intervallo!
Questo intervallo si "ferma" dove si incontra delle discontinuità per l'integrando $f$ attorno alle quali l'integrale crea problemi: ad esempio $\int_1^x 1/t" d"t$ è definita in $]0,+oo[$ e nota che $0$ è un punto di discontinuità per $f$ attorno al quale $f$ non è sommabile.
Ok ho capito praticamente il discorso è che se fisso ad esempio $x=-2$ allora ottengo un integrale del tipo $-int_(-2)^(0)$; tuttavia in quest'intervallo c'è incluso ad esempio ancke il $-1$ in cui la funzione integranda nn è definita per niente.Quindi in definitiva devo scartare l'intervallo $]-\infty,-2 [$.E' corretto il mio discorso?Inoltre nel mio caso la funzione integranda ha un punto di discontinuità eliminabile in $x=0$.Giusto?
Sisi. Detto in parole poverissime, questo è il succo del discorso.
ok grazie 1000 mi è tutto chiaro.Potreste dirmi se ho fatto bene per il calcolo dell'asintoto obbliquo.Come prima cosa ho visto che la funzione integranda nn è sommabile all'infinito.Quindi nn vi è asintoto orizzontale; ma vi può essere asintoto obbliquo.Quindi dovrei risolvere il seguente limite>: $m=lim_(x->+\infty) (F(x))/x$ che tuttavia è nella forma indeterminata $\infty/\infty$ quindi posso rsolverlo con Hopital.E quindi ottengo: $m=lim_(x->+\infty) (F'(x))/(x')=lim_(x->+\infty) sqrt(arctg((t+2)/t))= sqrt(\pi/4)$ è giusto?
Per quanto riguarda questa funzione integrale; $F(x)=int_(0)^(x)(1+t)e^(-1/t)$ qual'è il suo dominio; io l'ho calcolato e mi è venuto $]-\infty,+\infty[$ è corretto?Però ho disegnato la funzione integrale con derive e dal grafico risulta definita solo in $[0,+\infty[$.
Stiamo sempre lì... Guarda che succede all'integrando a sinistra di $0$: è sommabile o no?
Inoltre, si scrive "qual è" senza apostrofo (perchè non c'è elisione: "qual" esiste non è un "quale" mutilato).
Inoltre, si scrive "qual è" senza apostrofo (perchè non c'è elisione: "qual" esiste non è un "quale" mutilato).
Ok grazie 100 gugo; e grazie anke per la correzione di grammatica.Il fatto che mi traeva in inganno è che io verificavo la sommabilità solo dalla destra; però quando $x<0$ ovviamente si scambiano gli estremi e quindi poi devo verificare la sommabilità dalla sinistra.
Esatto!
E che ne esce?
Per quanto riguarda la grammatica, quello di "qual è" è un mio pallino (vedi qui e seguenti...). Spero non te la sia presa.
E che ne esce?
Per quanto riguarda la grammatica, quello di "qual è" è un mio pallino (vedi qui e seguenti...). Spero non te la sia presa.
No nn ti preoccupare nn me la sn presa.Scusa gugo per caso hai link di qualche tavola in cui vi sn tutti gli sviluppi asintotici?
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