Funzione integrale
Buongiorno a tutti... Sono uno studente al primo anno di Ingegneria e vorrei chiedervi chiarimenti sullo studio di una Funzione integrale che ci è stata assegnata come compito e che non so come affrontare...
La funzione è la seguente:
$\int_{-2}^{x} (t^2-\4)/(root(3)(t+3)) dx
Vi prego di aiutarmi... Sono in crisi nera... Non ho idea su come poterla studiare... Non ho idea riguardo a come metterci le mani sopra...
Grazie mille.
Canto46
La funzione è la seguente:
$\int_{-2}^{x} (t^2-\4)/(root(3)(t+3)) dx
Vi prego di aiutarmi... Sono in crisi nera... Non ho idea su come poterla studiare... Non ho idea riguardo a come metterci le mani sopra...
Grazie mille.
Canto46
Risposte
Guarda un po questo link prima se hai altri dubbi chiedi cosa non hai capito
https://www.matematicamente.it/forum/stu ... 25340.html
https://www.matematicamente.it/forum/stu ... 25340.html
Grazie mille, clockover... Mi hai dimostrato che utilizzando il tasto "Cerca" avrei potuto già reperire del materiale molto utile. Alla luce di quanto ho studiato, ho provato a risolvere la mia funzione integrale e questo è quello che ho ricavato:
Procedendo come per l' esempio di Funz. int. risolta:
FUNZIONE INTEGRANDA:
Può essere riscritta come [(t+2)^2/3]*(t-2)
Dominio: La funzione possiende una disc. di terza specie in t=-2
Limiti: lim f(t)=+inf
t-->+inf
lim f(t)=-inf
t-->-inf
In t=-2, la funzione assumerà semplicemente valore=0
Segno: f(t)>0 se t>2, f(t)<0 se t<2
Derivata prima: Ho ricavato (spero che il calcolo sia giusto, è stato un po' frettoloso) che f(t) possieda un massimo per x=-2 ed un minimo per x=2/3
FUNZIONE INTEGRALE:
Segno: F(-2)=0
Per x>2, F(x)>0
per -2
Andamento:
All' infinito la funzione diverge, perchè la funzione integranda è asintotica ad 1/t^(-5/3)
E' tutto giusto, fino a qui...? A questo punto, per disegnarla (tolta l' eventuale ricerca dei flessi) cosa devo calcolare, ancora...? Ma soprattutto... Se voglio vedere che valore assuma F(x) in un determinato punto, posso semplicemente calcolare l' integrale definito (della funzione integranda) tra -2 e quel punto...?
Grazie mille per l' attenzione.
Canto46
Procedendo come per l' esempio di Funz. int. risolta:
FUNZIONE INTEGRANDA:
Può essere riscritta come [(t+2)^2/3]*(t-2)
Dominio: La funzione possiende una disc. di terza specie in t=-2
Limiti: lim f(t)=+inf
t-->+inf
lim f(t)=-inf
t-->-inf
In t=-2, la funzione assumerà semplicemente valore=0
Segno: f(t)>0 se t>2, f(t)<0 se t<2
Derivata prima: Ho ricavato (spero che il calcolo sia giusto, è stato un po' frettoloso) che f(t) possieda un massimo per x=-2 ed un minimo per x=2/3
FUNZIONE INTEGRALE:
Segno: F(-2)=0
Per x>2, F(x)>0
per -2
Andamento:
All' infinito la funzione diverge, perchè la funzione integranda è asintotica ad 1/t^(-5/3)
E' tutto giusto, fino a qui...? A questo punto, per disegnarla (tolta l' eventuale ricerca dei flessi) cosa devo calcolare, ancora...? Ma soprattutto... Se voglio vedere che valore assuma F(x) in un determinato punto, posso semplicemente calcolare l' integrale definito (della funzione integranda) tra -2 e quel punto...?
Grazie mille per l' attenzione.
Canto46
Mi sembra ci sia un errore nel calcolo del dominio della funzione integranda! $f(t) = (t^2 - 4)/root(3)(t + 3)$, qui devi solo porre che il denominatore sia diverso da zero quindi il dominio della funzione integranda è $(-infty, -3)U(-3, infty)$
dunque qui non hai più problemi perchè la tua funzione integrale a $-2$ è definita e come hai detto tu non converge a $+infty$
Per quanto riguarda lo studio della derivata prima sulla funzione integrale, secondo il teorema di Torricelli, la tua $F'(x)$ di una $F[x] = int_a^x f(t)dt$ è proprio uguale alla $f(x)$! Da questo puoi vedere l'andamento della tua funzione! Non vorrei sbagliare data l'ora (sono tornato da poco da lavoro e mi sono anche fatto una birretta
) ma la funzione integrale cresce per per $-3 < x < -2$, decresce per $-2 < x < 2$ e cresce nuovamente per valori superiori a $2$
I valori che hai dato tu sono giusti ma si riferiscono allo studio della derivata prima, non del segno!
dunque qui non hai più problemi perchè la tua funzione integrale a $-2$ è definita e come hai detto tu non converge a $+infty$
Per quanto riguarda lo studio della derivata prima sulla funzione integrale, secondo il teorema di Torricelli, la tua $F'(x)$ di una $F[x] = int_a^x f(t)dt$ è proprio uguale alla $f(x)$! Da questo puoi vedere l'andamento della tua funzione! Non vorrei sbagliare data l'ora (sono tornato da poco da lavoro e mi sono anche fatto una birretta
) ma la funzione integrale cresce per per $-3 < x < -2$, decresce per $-2 < x < 2$ e cresce nuovamente per valori superiori a $2$I valori che hai dato tu sono giusti ma si riferiscono allo studio della derivata prima, non del segno!
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