Funzione integrale

[Piera4]

Sia $F(y)=int_0^(+infty)(arctan(xy))/(x(1+x^2))dx$,
determinare $F(y)$.

Suggerimento:
[size=34]derivare sotto il segno di integrale.[/size]

[Kroldar]

Purtroppo mi sono "abbassato a leggere il suggerimento"

Derivando ambo i membri rispetto a $y$ abbiamo:

$F'(y) = int_0^(+oo) 1/((1+x^2)(1+x^2y^2)) dx$

Bisogna determinare una primitiva della funzione integranda e non è difficile, difatti viene:

$y(arctan(xy))/(y^2-1) - (arctan(x))/(y^2-1)$

Il valore che tale funzione assume in $x=0$ è nullo... più complicato determinare il valore per $xto+oo$, in quanto

$arctan(xy) = pi/2 AA y > 0 $ e $arctan(xy) = -pi/2 AA y < 0$

Da ciò risulta che:

$F'(y) = int_0^(+oo) 1/((1+x^2)(1+x^2y^2)) dx = pi/2 (|y|-1)/(y^2-1)$

Considerando i due casi... a meno di una costante additiva abbiamo:

$F(y) = pi/2 log(y+1) AA y > 0$ (1)

$F(y) = -pi/2 log(y-1) AA y < 0$ (1)

Va ricordato che per $y<0$ la funzione assume valori complessi...

[Piera4]

Ho messo il suggerimento perchè c'era anche nell'esercizio. Altrimenti, salvo intuizioni, il quesito diventa infattibile.
Il libro riporta come risultato $F(y)=pi/2ln(1+y)$, credo che intenda solo $y>=0$.
Pensandoci bene, credo che il risultato giusto sia il tuo kroldar. Infatti $y$ può assumere anche valori negativi.
Una sola cosa: ti sei dimenticato di mettere il valore assoluto al logaritmo quando $y<0$.
Quindi la funzione richiesta è
$F(y)=pi/2ln(y+1)$ per $y>=0$
$F(y)=-pi/2ln|y-1|$ per $y<0$.
Non ho messo la costante additiva perchè $F(0)=0$.