Funzione integrale

[vl4dster]

sia $g(t)$ una funzione integrabile definita in due pezzi per $t>=0$ e $t < 0$ :
$g(t) =$ $a(t)$ se $t >= 0$
$g(t) =$ $b(t)$ se $t < 0$

se voglio trovare $G(x) = \int_{0}^{x}g(t)dt$ devo spezzare anche G in due casi:
$G(x) = \int_{0}^{x}a(t)dt$ se $x>=0$
$G(x) = \int_{0}^{x}b(t)dt$ se $x<0$

primo dubbio:
e' corretto dire che va spezzata in questo modo perche' se $x >= 0$ io vado a valutare si la primitiva di $g(t)$, ma in $t=x$ e quindi anche $t>=0$?

secondo dubbio:
se dovessi trovare ad esempio $G(x) = \int_{-x}^{x}g(t)dt$, per prima cosa lo spezzerei in $G(x) = \int_{-x}^{0}g(t)dt + \int_{0}^{x}g(t)dt$ e poi dividerei ancora in due casi ($x>=0$, $x<=0$):
$G(x) = \int_{-x}^{0}b(t)dt + \int_{0}^{x}a(t)dt$ se $x >= 0$
$G(x) = \int_{-x}^{0}a(t)dt + \int_{0}^{x}b(t)dt$ se $x < 0$

sarebbe corretto??

scusate per la lunghezza e la noiosita' dei miei ultimi post, ma l'esame si avvicina...

[Luca.Lussardi]

Mi pare di non vedere alcun sbaglio.

[vl4dster]

pazzesco... non ho fatto in tempo nemmeno ad aggiornare la pagina...
grazie davvero

[Tex87]

Salve ragazzi ho trovato un esercizio che dice:"determinare la derivata prima della funzione"

$F(x)=int_{x-1}^{3x}cos^2tdt$

come posso risolverlo????

GRAZIE!!!!!!

[vl4dster]

$D∫_{a(x)}^{b(x)}f'(t)dt=D[f(b(x))-f(a(x))]=D[b(x)]f'(b(x))-D[a(x)]f'(a(x))$

spero sia comprensibile...

[Tex87]

Scusa per capire meglio potresti personalizzare la formula al mio caso????

GRAZIE!!!!

[freddofede]

La formula è personalizzata al tuo caso...

[Tex87]

intendevo dire fare un esempio con i valori da me immessi per essere più sicuro!!!!!

[Tex87]

Per favore qualcuno mi illustra i passaggi per risolvere la funzione citata???

GRAZIE!!!!

[Camillo]

$a(x) = x-1 ; b(x)=3x $.
Quindi $ F'(x) = D[3x]*cos^2(3x) -D[x-1]* cos^2(x-1) $ = $3*cos^2(3x)- cos^2(x-1)$.

[Tex87]

GRAZIE MILLE!!!!!!!!!

[Tex87]

Scusa mi è sorto un dubbio, non dovrebbe essere:


$D[3x](-sin^2(3x))-D[x-1](-sin^2(x-1)$???

[Fioravante Patrone1]

Mamma mia, che macello! Per via di alcune sviste.
Anche se la risposta a Tex87 era già stata data prima (vedi camillo), provo a ricostruire il percorso completo.

Interessa la derivata di:
$F(x)=int_{x-1}^{3x}cos^2tdt$

Cominciamo dal fatto che:

$int_{x_0}^{x} g(t) dt = G(x) - G(x_0)$ dove $G$ è una primitiva di $g$. Ovvero, $G' = g$.

Allora:

$int_{x_0}^{b(x)} g(t) dt = G(b(x)) - G(x_0)$

Sfruttando l'additività sul campo e altre proprietà dell'integrale, otteniamo:

$int_{a(x)}^{b(x)} g(t) dt = G(b(x)) - G(a(x))$

(da qui la formula "generale": $ D[ int_{a(x)}^{b(x)} g(t) dt ] = D [G(b(x)) - G(a(x))] = G'(b(x))b'(x) - G'(a(x))a'(x) = g(b(x))b'(x) - g(a(x))a'(x)$; con "D" indico la derivata rispetto alla variabile $x$)

Quindi:

$F(x)=int_{x-1}^{3x}cos^2tdt = G(3x) - G(x-1)$ dove $G$ è una primitiva di $cos^2$

Allora (serve la derivazione delle funzioni composte):

$F'(x)= 3 G'(3x) - G'(x-1) = 3 cos^2(3x) - cos^2(x-1)$

Salvo errori od omissioni...

[Tex87]

Grazie sei stato molto gentile a sintetizzare il tutto e a spiegarlo in maniera impeccabile!!!!!!!!!!