Funzione integrale
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
Risposte
Devi procedere come nello studio di una funzione "normale": dominio, limiti, positivita', ecc.... un consiglio: prima fai un breve studio dell'integranda, ti aiutera' molto per lo studio di f.
Luca Lussardi
http://www.lussardi.tk
Luca Lussardi
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Sbaglio o studiare l'integranda è in questo caso come studiare la derivata di una funzione? Penso di sì. Come faccio a trovare gli zeri della funzione, positività e soprattutto dominio..Da quello che vedo appunto posso solo operare sull'integranda e non so come ricondurmi per queste cose alla funzione da studiare..
Grazie
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
Grazie
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
Allora, comincia a disegnare approssimativamente il grafico dell'integranda, dopodiche' sara' piu' facile capire come procedere allo studio dell'integrale. Ad esempio basta guardare il grafico dell'integranda per capire che la funzione integrale data e' definita su tutto R. Poi i punti che sono piu' tosti, lasciali magari da parte, procedendo con lo studio di f potrebbero essere risolti per altra via (ad esempio la positivita' potrebbe essere dedotta dallo studio della derivata...)
Luca Lussardi
http://www.lussardi.tk
Luca Lussardi
http://www.lussardi.tk
il dominio è R,infatti quale che sia x l'integrale converge
si può vedere che la funzione è dispari,quindi può essere studiata solo per x>0
se ho visto giusto (non ho fatto calcoli) per x>0 la funzione è sempre
positiva,infatti sen t /t su [0,Pi] è positiva, su [Pi,2Pi] negativa e cosi via ,inoltre la funzione integranda sugli intervalli dove sen t /t è positiva è sempre maggiore su quelli dove è negativa, ad esempio per x=2Pi int[0 2Pi]sen t/t >0
inoltre per x->+inf l'integrale improprio converge quindi la funzione ammette un asintoto orizzontale (con strumenti che credo tu non conosca si può vedere che l'asintoto è y=Pi/2)
crescenza e convessità si studiano come hai detto
mi rendo conto di essere stato super sintetico...
si può vedere che la funzione è dispari,quindi può essere studiata solo per x>0
se ho visto giusto (non ho fatto calcoli) per x>0 la funzione è sempre
positiva,infatti sen t /t su [0,Pi] è positiva, su [Pi,2Pi] negativa e cosi via ,inoltre la funzione integranda sugli intervalli dove sen t /t è positiva è sempre maggiore su quelli dove è negativa, ad esempio per x=2Pi int[0 2Pi]sen t/t >0
inoltre per x->+inf l'integrale improprio converge quindi la funzione ammette un asintoto orizzontale (con strumenti che credo tu non conosca si può vedere che l'asintoto è y=Pi/2)
crescenza e convessità si studiano come hai detto
mi rendo conto di essere stato super sintetico...
Vi ringrazio molto, ma vi chiedo se perfavore potreste esser un pò più prolissi.. Non ho capito come si fa a determinare il dominio, gli zeri, il segno, insomma tutto ciò che non riguardi direttamente lo studio dell'integranda..
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
Per gli zeri c'e' x=0. Altri non penso che ce ne siano, e in ogni caso sarebbe estremamente complicato trovarli nel caso di una generica funzione integrale: di solito non vale la pena di cercarli perche' la loro conoscenza non migliora di molto la nostra conoscenza della funzione da studiare.
Per il dominio si tratta solo di vedere per quali x l'integrale e' definito. In questo caso il dominio e' R come dice Piera.
Per il segno: non ci sono criteri generali. Anzi spesso e' pressoche' impossibile capire il segno! Nel caso particolare credo che Piera abbia ragione, certo riuscire a dimostrare che il segno e' positivo potrebbe essere MOLTO difficile.
Il fatto e' che quando si ha a che fare con funzioni integrali di solito ci si accontenta di trovare i punti di massimoe minimo, i flessi e ricavare un andamento asintotico della funzione. Nessuno pretende che uno studente risolva equazioni del tipo:
Dove g non ha primitiva elementare!
Per il dominio si tratta solo di vedere per quali x l'integrale e' definito. In questo caso il dominio e' R come dice Piera.
Per il segno: non ci sono criteri generali. Anzi spesso e' pressoche' impossibile capire il segno! Nel caso particolare credo che Piera abbia ragione, certo riuscire a dimostrare che il segno e' positivo potrebbe essere MOLTO difficile.
Il fatto e' che quando si ha a che fare con funzioni integrali di solito ci si accontenta di trovare i punti di massimoe minimo, i flessi e ricavare un andamento asintotico della funzione. Nessuno pretende che uno studente risolva equazioni del tipo:
Dove g non ha primitiva elementare!
Perchè il segno è positivo, non capisco, e poi perchè il dominio è tutto R? Come faccio a saper che ogni valore mi vada bene se non conosco la Primitiva? E poi non mi deve interessare che l'integranda non è definita per t=0. In più studiando la derivata della funzione posso conoscere solo i punti di flesso, di massimo e di minimo, ma non i rispettivi massimi, minimi ecc, Quindi, domanda, di cosa me ne faccio...
Scusate, ma ho cercato di scrivare tutto ciò che mi veniva in mente..
Grazie
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
Scusate, ma ho cercato di scrivare tutto ciò che mi veniva in mente..
Grazie
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
*** EDIT ***
Un po' di correzioni.
PS: Per i massimi e minimi: nelle applicazioni pratiche si possono calcolare numericamente, altrimenti si possono fare delle stime. In ogni caso per tracciare il grafico qualitativo della funzione non e' necessario conoscere i loro valori esatti.
Le mie sono solo alcune considerazioni intuitive :
* la funzione sinx/x è definita ovunque ( a parte in x=0, dove la si pone uguale a 1, essendo una discontinuità eliminabile ) , anzi è una funzione continua , è una sinusoide smorzata , e allora l'integrale di una funzione continua esiste sempre ; quindi il dominio di f(x) è R .
*è sempre positiva : la funzione integranda si annulla per x = pi, 2pi etc.; l'integrale fra 0 e pi sarà maggiore del valore assoluto di quello tra pi e 2pi e così via essendo una sinusoide smorzata ; pertanto i contributi negativi ( le aree sotto l'asse delle x) sono sempre in valore assoluto minori delle aree positive del semiperiodo precedente e quindi f(x) sempre positiva.
*max e min : essendo f'(x) = sinx/x che si annulla per x = k*pi, avremo max e min per x = k*pi anzi più precisamente per x = (2k+1)*pi sono max , mentre per x= 2k*pi sono minimi.
* flessi : f''(x)= (x*cosx-sinx)/x^2 : puoi studiare graficamente il segno e quando si annulla la derivata seconda .
* inoltre si dimostra che int fra 0 e +inf di sint*dt/t = pi/2 e quindi f(x) ha un asintoto orizzontale destro di equazione : y = pi/2.
Ecco il grafico :
Camillo
* la funzione sinx/x è definita ovunque ( a parte in x=0, dove la si pone uguale a 1, essendo una discontinuità eliminabile ) , anzi è una funzione continua , è una sinusoide smorzata , e allora l'integrale di una funzione continua esiste sempre ; quindi il dominio di f(x) è R .
*è sempre positiva : la funzione integranda si annulla per x = pi, 2pi etc.; l'integrale fra 0 e pi sarà maggiore del valore assoluto di quello tra pi e 2pi e così via essendo una sinusoide smorzata ; pertanto i contributi negativi ( le aree sotto l'asse delle x) sono sempre in valore assoluto minori delle aree positive del semiperiodo precedente e quindi f(x) sempre positiva.
*max e min : essendo f'(x) = sinx/x che si annulla per x = k*pi, avremo max e min per x = k*pi anzi più precisamente per x = (2k+1)*pi sono max , mentre per x= 2k*pi sono minimi.
* flessi : f''(x)= (x*cosx-sinx)/x^2 : puoi studiare graficamente il segno e quando si annulla la derivata seconda .
* inoltre si dimostra che int fra 0 e +inf di sint*dt/t = pi/2 e quindi f(x) ha un asintoto orizzontale destro di equazione : y = pi/2.
Ecco il grafico :
Camillo
Precisando che abbiamo fatto l'integrale di Riemann solo oggi, aggiungo che io oggi avevo proceduto esattamente come camillo, a meno dello studio del segno, infatti ancora non capisco bene il fatto che il valore assoluto dell'integrale tra 0 e pi sia maggiore di quello tra tra pi e 2 pi. In ogni caso anche io avevo trovato punti di massimo e di minimo, ma come ho già scritto non ho saputo usarli più di tanto perchè ai fini grafici non mi9 servono molto se non posso calcolarmi il valore di f in quei punti, no? Lo stesso per i flessi...
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
NON vedo il grafico..
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
Adesso sono riuscito a inserire il grafico, miracoli del nuovo sito !
Vai a vedere qui dove oltre al grafico c'è anche una spiegazione piuttosto completa ( anche troppo !) :
http://mathworld.wolfram.com/SineIntegral.html
Come vedi dal sito indicato sopra non esistono modi elementari di calcolare il valore della funzione seno integrale se non con sviluppi in serie.
Penso quindi che l'esercizio richiedesse una analisi qualitativa , un andamento, più che valori precisi.
Quanto a conoscere per quali valori si hanno i flessi lo puoi fare
risolvendo graficamente la disequazione : x*cosx -sin x > 0.
I valori sono : circa 4.5 , 7.7 etc non vedo altro modo che quello grafico.
Segno : se tu fai un grafico della funzione integranda sinx/x , vedi subito che l'area della prima semionda(tra 0 e pi) è maggiore dell'area in valore assoluto della seconda semionda( tra pi e 2pi) e quindi l'integrale tra 0 e 2pi è senz'altro positivo e così proseguendo: la funzione viene smorzata energicamente col fattore 1/x a tal punto evidentemente che la funzione integral seno ha un asintoto orizzontale .
Camillo
P.S. Ma tu vorresti sapere le ordinate dei punti di flesso e qui si ricade nel discorso fatto sopra
Vai a vedere qui dove oltre al grafico c'è anche una spiegazione piuttosto completa ( anche troppo !) :
http://mathworld.wolfram.com/SineIntegral.html
Come vedi dal sito indicato sopra non esistono modi elementari di calcolare il valore della funzione seno integrale se non con sviluppi in serie.
Penso quindi che l'esercizio richiedesse una analisi qualitativa , un andamento, più che valori precisi.
Quanto a conoscere per quali valori si hanno i flessi lo puoi fare
risolvendo graficamente la disequazione : x*cosx -sin x > 0.
I valori sono : circa 4.5 , 7.7 etc non vedo altro modo che quello grafico.
Segno : se tu fai un grafico della funzione integranda sinx/x , vedi subito che l'area della prima semionda(tra 0 e pi) è maggiore dell'area in valore assoluto della seconda semionda( tra pi e 2pi) e quindi l'integrale tra 0 e 2pi è senz'altro positivo e così proseguendo: la funzione viene smorzata energicamente col fattore 1/x a tal punto evidentemente che la funzione integral seno ha un asintoto orizzontale .
Camillo
P.S. Ma tu vorresti sapere le ordinate dei punti di flesso e qui si ricade nel discorso fatto sopra
Grazie della tua pazienza Camillo, adesso ho le idee un pò più chiare..
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
Derive esegue il calcolo numerico del seno integrale.
Il comando si(z) calcola l'integrale da 0 fino a z di sint/t.
Ad esempio con : si(pi) si ottiene :1.8519.
Camillo
Il comando si(z) calcola l'integrale da 0 fino a z di sint/t.
Ad esempio con : si(pi) si ottiene :1.8519.
Camillo
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