Funzione integrale
Salve a tutti. Dovendo tracciare un grafico approssimativo di questa funzione integrale $ F(x)= int_(1)^(3/x) |arcsin sqrt(t^2-2t+1) | dt $ posso affermare che F(x) è sempre crescente, ma non so come comportarmi per quanto riguarda lo studio del comportamento agli estremi del dominio. Spero possiate aiutarmi, grazie!
Risposte
prima di tutto $F(x)$ si può scrivere in questo modo
$ F(x)=int_(1)^(3/x) arcsin|t-1| dt $
il dominio dell'integrando è dato dalla soluzione della disequazione $|t-1| leq 1$ cioè per $t geq 0 cap t leq 2$,il che implica $3/x > 0 cap 3/x leq 2$
il dominio di $F(x)$ è $ [3/2,+infty)$
$F(3)=0$
$F(x) >0 $ per $3/2 leq x<3$
$ lim_(x -> +infty)F(x)=int_(1)^(0) arcsin|t-1|dt $ e quindi il grafico di $F(x)$ ha asintoto orizzontale
$F'(x)=-3/x^2arcsin|3/x-1|$ e quindi la funzione è strettamente decrescente
$ F(x)=int_(1)^(3/x) arcsin|t-1| dt $
il dominio dell'integrando è dato dalla soluzione della disequazione $|t-1| leq 1$ cioè per $t geq 0 cap t leq 2$,il che implica $3/x > 0 cap 3/x leq 2$
il dominio di $F(x)$ è $ [3/2,+infty)$
$F(3)=0$
$F(x) >0 $ per $3/2 leq x<3$
$ lim_(x -> +infty)F(x)=int_(1)^(0) arcsin|t-1|dt $ e quindi il grafico di $F(x)$ ha asintoto orizzontale
$F'(x)=-3/x^2arcsin|3/x-1|$ e quindi la funzione è strettamente decrescente
Come arrivo ad affermare che F(3)=0?
se $x=3$,si ha $3/x=1$ e quindi gli estremi di integrazione coincidono
e noi sappiamo che,in generale, $ int_(a)^(a) f(x)dx =0 $
e noi sappiamo che,in generale, $ int_(a)^(a) f(x)dx =0 $
Ok, grazie davvero!
Per la ricerca degli asintoti devo necessariamente risolvere l'integrale improprio?
no, ti basta osservare che l'integrale non è divergente per affermare che c'è l'asintoto orizzontale
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