Funzione integrale
Salve a tutti, sono nuovo del forum, vorrei cortesemente una mano su questa funzione integrale.
Definita la funzione
$ f(x) = \frac{\e^\sqrt{x^2 - 5x + 6} - 1}{x - 2} $
una volta analizzata la funzione:
- dominio: $ (-\infty, 2) \cup [3, +\infty) $
- segno: negativa in $ (-\infty, 2) $, positiva in $ (3, +\infty) $, intercetta in $ x = 3 $
- limiti e asintoti (illimitata a destra e a sinistra, asintoto verticale in $ x = 2 $)
- derivata (senza calcolarne il segno o le intercette con l'asse x data la sua complessità)
si richiede di valutare approssimativamente (cioè tracciare il grafico) di:
$ \int_4^\log(x - 5) f(t) dt $
e qui non so come procedere. Ho provato a definire una funzione integrale sbarazzandomi di quel logaritmo, ponendo
$ \log(x - 5) = y, x = \e^y + 5 $
e quindi, essendo $ F(x) = G(\log(x-5)) $ :
$ F'(x) = G'(x) * \frac{1}{x - 5} $ ma poi non ho idea di come procedere, non sono molto ferrato sulle funzioni integrali, lo ammetto, ma gli esempi sono generalmente più semplici di questo e su funzioni più "valutabili" (di $ f $ non so nemmeno tracciare un vero e proprio grafico, non potendo estrapolare informazioni sui p.ti stazionari dalla sua derivata con semplicità).
Definita la funzione
$ f(x) = \frac{\e^\sqrt{x^2 - 5x + 6} - 1}{x - 2} $
una volta analizzata la funzione:
- dominio: $ (-\infty, 2) \cup [3, +\infty) $
- segno: negativa in $ (-\infty, 2) $, positiva in $ (3, +\infty) $, intercetta in $ x = 3 $
- limiti e asintoti (illimitata a destra e a sinistra, asintoto verticale in $ x = 2 $)
- derivata (senza calcolarne il segno o le intercette con l'asse x data la sua complessità)
si richiede di valutare approssimativamente (cioè tracciare il grafico) di:
$ \int_4^\log(x - 5) f(t) dt $
e qui non so come procedere. Ho provato a definire una funzione integrale sbarazzandomi di quel logaritmo, ponendo
$ \log(x - 5) = y, x = \e^y + 5 $
e quindi, essendo $ F(x) = G(\log(x-5)) $ :
$ F'(x) = G'(x) * \frac{1}{x - 5} $ ma poi non ho idea di come procedere, non sono molto ferrato sulle funzioni integrali, lo ammetto, ma gli esempi sono generalmente più semplici di questo e su funzioni più "valutabili" (di $ f $ non so nemmeno tracciare un vero e proprio grafico, non potendo estrapolare informazioni sui p.ti stazionari dalla sua derivata con semplicità).
Risposte
io invece porrei $z=ln(x-5)$ e comincerei a studiare
$F(z)= int_(4)^(z) f(t) dt $
dal comportamento di $F(z)$ puoi ricondurti al comportamento di $G(x)=F((ln(x-5))$
$F(z)= int_(4)^(z) f(t) dt $
dal comportamento di $F(z)$ puoi ricondurti al comportamento di $G(x)=F((ln(x-5))$
Eh, ma non ho ben capito come devo procedere. Studio la funzione integrale $ G(z) = \int_4^z f(t)dt $ quindi come se stessi "spazzando" la retta reale, ma come riporto questi risultati per $ F(x) = G(\log(x-5)) $ ? L'andamento di $ log(x-5) $ è ben diverso!
Intanto, comunque, devo spezzare la funzione integrale in due? Cioè:
$ G(z) = -\int_z^4 f(t)dt $ (per $ z < 4 $ ) $ + \int_4^z f(t)dt $ (per $ z > 4 $ )?
Intanto, comunque, devo spezzare la funzione integrale in due? Cioè:
$ G(z) = -\int_z^4 f(t)dt $ (per $ z < 4 $ ) $ + \int_4^z f(t)dt $ (per $ z > 4 $ )?
1)tenendo conto dell'insieme di definizione di $f(t)$ e del fatto che un estremo di integrazione è il 4,$F(z)$ è definita in $[3,+infty)$
2) è molto semplice ripassare da $z$ a $x$
2) è molto semplice ripassare da $z$ a $x$
Vediamo se ho capito bene, allora:
la funzione $ \frac{\e^\sqrt(t^2 - 5t + 6) - 1}{t - 2} $ va integrata a partire dal punto $ t = 4 $, e la parte di dominio che contiene tale punto e che al tempo stesso è continua è l'intervallo $ [3, +\infty) $, quindi il dominio della funzione integrale $ F(z) $ è appunto $ [3, +\infty) $. Ciò significa che $ \log(x-5) > 3 $, quindi $ x > \e^3 + 5 $. Inoltre la funzione integrale si annulla in $ 4 $, cioè per $ x = \e^4 + 5 $. Possiamo a questo punto valutare la funzione $ F'(z) = f(\log(x-5)) d/dx log(x-5) $, ma anche, più semplicemente, notare che l'integrale "spazzerà" l'area tra 4 e 3 "a ritroso", per cui sarà negativa per $ t < 4 $, cioè per $ x < \e^4 + 5 $, positiva altrove, inoltre sarà sempre crescente essendo la funzione integranda interamente positiva per $ t > 3 $. Giusto? Questo lo possiamo dire con certezza perchè $ g(x) = \log(x-5) $, cioè un logaritmo di base $ \e > 1 $, quindi una funzione strettamente crescente, e quindi al crescere di $ x $ crescerà anche $ \log(x-5) $, e quindi, di conseguenza, $ t $ stessa.
la funzione $ \frac{\e^\sqrt(t^2 - 5t + 6) - 1}{t - 2} $ va integrata a partire dal punto $ t = 4 $, e la parte di dominio che contiene tale punto e che al tempo stesso è continua è l'intervallo $ [3, +\infty) $, quindi il dominio della funzione integrale $ F(z) $ è appunto $ [3, +\infty) $. Ciò significa che $ \log(x-5) > 3 $, quindi $ x > \e^3 + 5 $. Inoltre la funzione integrale si annulla in $ 4 $, cioè per $ x = \e^4 + 5 $. Possiamo a questo punto valutare la funzione $ F'(z) = f(\log(x-5)) d/dx log(x-5) $, ma anche, più semplicemente, notare che l'integrale "spazzerà" l'area tra 4 e 3 "a ritroso", per cui sarà negativa per $ t < 4 $, cioè per $ x < \e^4 + 5 $, positiva altrove, inoltre sarà sempre crescente essendo la funzione integranda interamente positiva per $ t > 3 $. Giusto? Questo lo possiamo dire con certezza perchè $ g(x) = \log(x-5) $, cioè un logaritmo di base $ \e > 1 $, quindi una funzione strettamente crescente, e quindi al crescere di $ x $ crescerà anche $ \log(x-5) $, e quindi, di conseguenza, $ t $ stessa.
esatto
aggiungerei solo che $ lim_(x -> +infty) G(x)=+infty $
aggiungerei solo che $ lim_(x -> +infty) G(x)=+infty $
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