Funzione integrale
Supponiamo di avere una $F(\sigma) = \int_{\sigma}^{\gamma} f(t, \sigma) dt$, dove $\gamma $ è fissato. Sotto quali ipotesi posso dire $\lim_{\sigma \to \alpha} F(\sigma) = F(\alpha) = \int_{\alpha}^{\gamma} f(t, \alpha) dt$ ??
Risposte
Il tuo enunciato equivale, nella sua formulazione sequenziale, a
\[
\lim_{n \to +\infty} \int_{a}^{b} f(t,x_n)dt = \int_a^b f(t,x) dt
\]
per ogni successione $(x_n)_n \subset \RR$ t.c. $x_n \to x$ (la dipendenza nell'estremo di integrazione si può comunque "riassorbire" moltiplicando per la caratteristica dell'insieme su cui integri e integrando su tutto lo spazio di misura).
Quindi, se chiamiamo $f_n(\cdot):=f(\cdot,x_n)$ la conclusione è valida se vale il passaggio al limite sotto il segno di integrale. Le condizioni sufficienti più celebri certamente le conosci: convergenza uniforme (Riemann), convergenza monotona (Beppo Levi), convergenza dominata (Lebesgue), uniforme integrabilità (alla Vitali).
Ti torna? Spero di non aver detto sciocchezze.
\[
\lim_{n \to +\infty} \int_{a}^{b} f(t,x_n)dt = \int_a^b f(t,x) dt
\]
per ogni successione $(x_n)_n \subset \RR$ t.c. $x_n \to x$ (la dipendenza nell'estremo di integrazione si può comunque "riassorbire" moltiplicando per la caratteristica dell'insieme su cui integri e integrando su tutto lo spazio di misura).
Quindi, se chiamiamo $f_n(\cdot):=f(\cdot,x_n)$ la conclusione è valida se vale il passaggio al limite sotto il segno di integrale. Le condizioni sufficienti più celebri certamente le conosci: convergenza uniforme (Riemann), convergenza monotona (Beppo Levi), convergenza dominata (Lebesgue), uniforme integrabilità (alla Vitali).
Ti torna? Spero di non aver detto sciocchezze.
Per esempio, se sapessi che la funzione $f(t, \sigma)$ è continua, posso dire che $\lim_{\sigma \to \alpha} \int_{\sigma}^{\gamma} f(t, \sigma) dt = \int_{\alpha}^{\gamma} f(t, \alpha) dt $ ?
No, secondo me non puoi dirlo così, hai bisogno di altre ipotesi. E poi dove è definita $f$? E' a supporto compatto?
Per esempio, se sai che c'è una funzione $L^1$ che domina $f$ allora quanto affermi è vero (è una versione continua del teorema della convergenza dominata). Un'altra ipotesi aggiuntiva che ti garantisce quella uguaglianza potrebbe essere, nelle notazioni del mio post precedente, la convergenza uniforme di $f_n(\cdot)$ a $f(\cdot,x)$ (però qui è già più delicato, bisognerebbe controllare bene anche il dominio di integrazione, sarebbe bene stare su roba di misura finita).
Così su due piedi non mi vengono controesempi nel caso in cui richiedi solo la continuità dell'integranda, ma temo che sia falso. Spero di essere stato utile e di non aver preso abbagli.
Comunque, posso chiederti da dove "nasce" questo problema? Giusto per curiosità.
Per esempio, se sai che c'è una funzione $L^1$ che domina $f$ allora quanto affermi è vero (è una versione continua del teorema della convergenza dominata). Un'altra ipotesi aggiuntiva che ti garantisce quella uguaglianza potrebbe essere, nelle notazioni del mio post precedente, la convergenza uniforme di $f_n(\cdot)$ a $f(\cdot,x)$ (però qui è già più delicato, bisognerebbe controllare bene anche il dominio di integrazione, sarebbe bene stare su roba di misura finita).
Così su due piedi non mi vengono controesempi nel caso in cui richiedi solo la continuità dell'integranda, ma temo che sia falso. Spero di essere stato utile e di non aver preso abbagli.
Comunque, posso chiederti da dove "nasce" questo problema? Giusto per curiosità.
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