Funzione integrale

[TommasoTomm]

Salve a tutti, mi sono imbattuto nello studio di una funzione integrale abbastanza complicato.

$F(x) = int_0^x (log(1+t^2) -arctan(t)) dt$

Ciò che mi ha fatto andare nel pallone è lo studio della monotonia, secondo me fondamentale per lo studio delle funzioni integrali.

Spero qualcuno mi aiuti

[gugo82]

Dato che la funzione integranda è derivabile, si ha:
\[
f^\prime (x) = \frac{2x}{1+x^2} - \frac{1}{1+x^2} = \frac{2x-1}{1+x^2}
\]
quindi \(f\) è decrescente per \(x\leq 1/2\) e crescente per \(x\geq 1/2\); il punto \(1/2\) è di minimo e tale minimo è negativo; inoltre \(f(0)=0\), sicché \(f(x)\geq 0\) per \(x\leq 0\), mentre esiste un punto \(x_0>1/2\) tale che \(f(x)\geq 0\) per \(x\geq x_0\).
Conseguentemente, \(F\) è sempre negativa a sinistra di \(0\), ed è crescente e concava; d'altra parte è negativa anche in un intorno destro di \(0\) che contiene il punto \(1/2\) essendo ivi crescente e concava; dopo tale punto la funzione passa da concava a convessa, mantenendo la monotonia precedente; poi arriva in \(x_0\), in cui \(F\) assume valore minimo negativo (ovviamente); dopodiché la monotonia diventa crescente, e la \(F\) diverge positivamente, sicché esisterà un punto \(x_1>x_0\) a partire dal quale in poi \(F\) diventa positiva.