Funzione integrale
siano
$f(x)=\int_{0}^{x} cos(t)/(1+t) dt $
$g(x)=\int_{0}^{sin(x)} 1/(2+e^t) dt $
definite per x in un opportuno intervallo contenente x=0
sia
$F(x) = {(f(x)/g(x),if x!=0), (\alpha,if x=0):} $
i)determinare $\alpha$ tali che F(x) sia continua in 0
ii)stabilire se esste ed eventualmente calcolarlo $\beta$ per cui $F(x)-\alpha$ è asintotica a $\beta x$
il punto i) l'ho svolto nel seguente modo
ho posto il seguete limite = ad $\alpha$
$lim_(x->0)f(x)/g(x) = lim_(x->0) (\int_{0}^{x} cos(t)/(1+t) dt )/(\int_{0}^{sin(x)} 1/(2+e^t) dt)=\alpha$
applico hopital
$lim_(x->0)(cos(x)/(1+x))/(cos(x)/(2+e^x)) = lim_(x->0) (2+e^x)/(1+x) = 3$
da cui ho dedotto $\alpha=3$
di questo svolgimento sono abbastanza sicura ma vorrei un controllo
ho svolto poi il punto ii)
ho posto il seguente limite uguale a 1
$lim_(x->0)(F(x)- \alpha)/(\betax)= 1$
applico hopital
$lim_(x->0) ((2+e^x)/(1+x))/\beta= 3/\beta = 1 \Leftrightarrow \beta=3$
la soluzione del seondo punto però mi lascia qualche dubbio,mi sembra che la soluione sia fin troppo semplice...mi aiutate?
$f(x)=\int_{0}^{x} cos(t)/(1+t) dt $
$g(x)=\int_{0}^{sin(x)} 1/(2+e^t) dt $
definite per x in un opportuno intervallo contenente x=0
sia
$F(x) = {(f(x)/g(x),if x!=0), (\alpha,if x=0):} $
i)determinare $\alpha$ tali che F(x) sia continua in 0
ii)stabilire se esste ed eventualmente calcolarlo $\beta$ per cui $F(x)-\alpha$ è asintotica a $\beta x$
il punto i) l'ho svolto nel seguente modo
ho posto il seguete limite = ad $\alpha$
$lim_(x->0)f(x)/g(x) = lim_(x->0) (\int_{0}^{x} cos(t)/(1+t) dt )/(\int_{0}^{sin(x)} 1/(2+e^t) dt)=\alpha$
applico hopital
$lim_(x->0)(cos(x)/(1+x))/(cos(x)/(2+e^x)) = lim_(x->0) (2+e^x)/(1+x) = 3$
da cui ho dedotto $\alpha=3$
di questo svolgimento sono abbastanza sicura ma vorrei un controllo
ho svolto poi il punto ii)
ho posto il seguente limite uguale a 1
$lim_(x->0)(F(x)- \alpha)/(\betax)= 1$
applico hopital
$lim_(x->0) ((2+e^x)/(1+x))/\beta= 3/\beta = 1 \Leftrightarrow \beta=3$
la soluzione del seondo punto però mi lascia qualche dubbio,mi sembra che la soluione sia fin troppo semplice...mi aiutate?
Risposte
Secondo me
$f'(x)=\frac{\cos x}{1+x}$ mentre $g'(x)=\frac{\cos x}{2+e^{\sin x}}$
e pertanto il limite diventa
$\lim_{x\to 0}\frac{2+e^{\sin x}}{1+x}=3$
Il risultato è lo stesso, per carità, ma formalmente quello che hai scritto è errato.
Per la seconda mi pare torni tutto (sempre solito errore formale dell'esponente di $e$). Volendo potresti sviluppare la funzione $F(x)-\alpha x$ con Taylor.... ma mi sembra una esagerazione.
$f'(x)=\frac{\cos x}{1+x}$ mentre $g'(x)=\frac{\cos x}{2+e^{\sin x}}$
e pertanto il limite diventa
$\lim_{x\to 0}\frac{2+e^{\sin x}}{1+x}=3$
Il risultato è lo stesso, per carità, ma formalmente quello che hai scritto è errato.
Per la seconda mi pare torni tutto (sempre solito errore formale dell'esponente di $e$). Volendo potresti sviluppare la funzione $F(x)-\alpha x$ con Taylor.... ma mi sembra una esagerazione.
sisi hai perfettamente ragione in merito alle derivate,grazie,non mi ero accorta dell'errore
comunque se dite che vi sembra tutto giusto sto piu tranquil
a,è che mi sembrava banale la seconda parte
comunque se dite che vi sembra tutto giusto sto piu tranquil
a,è che mi sembrava banale la seconda parte
Capita che alcune cose sembrino ovvie. Il fatto è che, magari, non a tutti poteva venire in mente di utilizzare de l'Hopital per risolvere questo esercizio. Quello che potresti fare, se non altro per non far sembrare tutto banale come dici, è verificare che puoi effettivamente applicare il teorema del marchese ($f,g$ continue e derivabili, esiste il limite del rapporto delle derivate, ecc).
[ot]Bella la tua immagine del profilo, L è il migliore 
[/ot]
[/ot]
Io invece preferisco il nick... ma mi auguro che non "pianga", se no....
ahahahah!!grazie a tutti!! sia per le osservazioni sul mio profilo che per l'esercizio!!!
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