Funzione integrale
Salve a tutti....dovrei disegnare qualitativamente il grafico di questa funzione:
$F(x)=\int_0^x t^2*e^(-t^2) dt$
Innanzitutto mi sono studiata $f(x)$, che è continua in tutto $RR$
La mia $F(x)$ sarà quindi definita su tutto $RR$ e continua.
$F(0)=0$
$\lim_{x \to \+ infty} \int_0^x t^2/e^(t^2)=\int_0^(+ oo) t^2/e^(t^2)$ e grazie ai criteri di convergenza ho verificato che questo integrale improprio converge ad un valore $l$ (che non so determinare)
$\lim_{x \to \- infty} \int_0^(- oo) t^2/e^(t^2)=- \int_(- oo)^(0) t^2/e^(t^2)$ che converge anche esso ad un valore $m$ (che non so detrminare)
Sapendo che $f(x)$ è continua posso applicare il secondo teorema fondamentale del calcolo integrale:
$F'(x)=x^2*e^(-x^2)$ che è sempre crescente e in $x=0$ ha un flesso a tangente orizzonatale
$F'(x)=2x(1-x^2)/e^x>=0$ per $x<=1 ^^ 0<=x<=1$ quindi in questi intervalli ha concavità verso l'alto e nei punti $x=-1$ e $x=1$ ha altri due flessi
Detto questo si potrebbe fare un grafico approssimato della funzione...giusto?
Il valore $l$ dovrebbe quindi essere positivo e $m$ dovrebbe essere negativo (credo anche uguali in modulo!)
Cosa ne pensate?
Vi ringrazio già in anticipo...
$F(x)=\int_0^x t^2*e^(-t^2) dt$
Innanzitutto mi sono studiata $f(x)$, che è continua in tutto $RR$
La mia $F(x)$ sarà quindi definita su tutto $RR$ e continua.
$F(0)=0$
$\lim_{x \to \+ infty} \int_0^x t^2/e^(t^2)=\int_0^(+ oo) t^2/e^(t^2)$ e grazie ai criteri di convergenza ho verificato che questo integrale improprio converge ad un valore $l$ (che non so determinare)
$\lim_{x \to \- infty} \int_0^(- oo) t^2/e^(t^2)=- \int_(- oo)^(0) t^2/e^(t^2)$ che converge anche esso ad un valore $m$ (che non so detrminare)
Sapendo che $f(x)$ è continua posso applicare il secondo teorema fondamentale del calcolo integrale:
$F'(x)=x^2*e^(-x^2)$ che è sempre crescente e in $x=0$ ha un flesso a tangente orizzonatale
$F'(x)=2x(1-x^2)/e^x>=0$ per $x<=1 ^^ 0<=x<=1$ quindi in questi intervalli ha concavità verso l'alto e nei punti $x=-1$ e $x=1$ ha altri due flessi
Detto questo si potrebbe fare un grafico approssimato della funzione...giusto?
Il valore $l$ dovrebbe quindi essere positivo e $m$ dovrebbe essere negativo (credo anche uguali in modulo!)
Cosa ne pensate?
Vi ringrazio già in anticipo...
Risposte
"melli13":
Innanzitutto mi sono studiata $f(x)$, che è continua in tutto $RR$
Probabilmente intendevi $f(t)$
"melli13":
La mia $F(x)$ sarà quindi definita su tutto $RR$ e continua.
$F(0)=0$
$\lim_{x \to \+ infty} \int_0^x t^2/e^(t^2)=\int_0^(+ oo) t^2/e^(t^2)$ e grazie ai criteri di convergenza ho verificato che questo integrale improprio converge ad un valore $l$ (che non so determinare)
$\lim_{x \to \- infty} \int_0^(- oo) t^2/e^(t^2)=- \int_(- oo)^(0) t^2/e^(t^2)$ che converge anche esso ad un valore $m$ (che non so detrminare)
Ok
"melli13":
Sapendo che $f(x)$ è continua posso applicare il secondo teorema fondamentale del calcolo integrale:
$F'(x)=x^2*e^(-x^2)$ che è sempre crescente e in $x=0$ ha un flesso a tangente orizzonatale
$F'(x)$ non è sempre crescente: forse intendevi dire che $F'(x)>=0$ sempre e che quindi $F(x)$ è crescente
"melli13":
$F'(x)=2x(1-x^2)/e^x>=0$ per $x<=1 ^^ 0<=x<=1$ quindi in questi intervalli ha concavità verso l'alto e nei punti $x=-1$ e $x=1$ ha altri due flessi
No: la derivata seconda è $F''(x)=2x(1-x^2)/(e^(x^2))$ che è $>=0$ per $x<=-1 cup 0 <= x <= 1$, dove $F(x)$ è convessa.
Scusami...sarà che era una certa ora e stavo un po' rincitrullita...
!
Volevo intendere che $F(x)$ è sempre crescente e che $F(x)$ è convessa in $x<=-1 ^^ 0<=x<=1$
Grazie mille...
!Volevo intendere che $F(x)$ è sempre crescente e che $F(x)$ è convessa in $x<=-1 ^^ 0<=x<=1$
Grazie mille...
Questo è l'ultimo che mi crea problemi: $F(x)= int_0^x log(1+t)/t dt$
$f(t)$ è continua nel suo dominio $(-1,0) uu (0,+oo)$ e:
$lim_(x->-1^+) log(1+x)/x=+oo$
$lim_(x->0^-) log(1+x)/x=1$
$lim_(x->0^+) log(1+x)/x=1$
$lim_(x->+oo) log(1+x)/x=0^+$
Quindi la funzione integrale è definita in $(-1,+oo)$ e $F(0)=0$
$lim_(x->+oo) int_0^x log(1+t)/t dt= int_0^(+oo) log(1+t)/t dt$ che diverge!
$lim_(x->-1^+) int_0^x log(1+t)/t dt=- int_-1^0 log(1+t)/t dt$ che converge!
$F'(x)=log(1+x)/x$ e $F(x)$ è sempre crescente
$F''(x)=(x/(x+1)-log(x+1))/x^2$ e $F(x)$ è sempre concava
Giusto?
$f(t)$ è continua nel suo dominio $(-1,0) uu (0,+oo)$ e:
$lim_(x->-1^+) log(1+x)/x=+oo$
$lim_(x->0^-) log(1+x)/x=1$
$lim_(x->0^+) log(1+x)/x=1$
$lim_(x->+oo) log(1+x)/x=0^+$
Quindi la funzione integrale è definita in $(-1,+oo)$ e $F(0)=0$
$lim_(x->+oo) int_0^x log(1+t)/t dt= int_0^(+oo) log(1+t)/t dt$ che diverge!
$lim_(x->-1^+) int_0^x log(1+t)/t dt=- int_-1^0 log(1+t)/t dt$ che converge!
$F'(x)=log(1+x)/x$ e $F(x)$ è sempre crescente
$F''(x)=(x/(x+1)-log(x+1))/x^2$ e $F(x)$ è sempre concava
Giusto?
Che belloooooo....proprio come lo avevo disegnato....! Grazie mille....a me il panettone ha fatto un buon effetto..! Grazie anche per gli auguri e ricambio....rinnovandoli pure per un felice anno nuovo...
!!
! Grazie mille....a me il panettone ha fatto un buon effetto..! Grazie anche per gli auguri e ricambio....rinnovandoli pure per un felice anno nuovo...!!
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