Funzione integrabile

[thedarkhero]

Stabilire se il seguente integrale converge:
$\int_{0}^{+oo} (\pi/2-arctan(x))^alpha/(arctan^alpha(x)(\pi/2+arctan(x))(x^2+1)^alpha) dx$
Studio la convergenza in un intorno di $+oo$:
$(\pi/2-arctan(x))^alpha~(1/x^alpha)$
$arctan^alpha(x)~1$
$(\pi/2+arctan(x))~1$
$(x^2+1)^alpha~x^(2alpha)$
$(\pi/2-arctan(x))^alpha/(arctan^alpha(x)(\pi/2+arctan(x))(x^2+1)^alpha)~1/x^(3alpha)$
Quindi la funzione è integrabile in un intorno di $+oo$ se e solo se $3alpha>1$ ovvero $alpha>1/3$
Studio la convergenza in un intorno di $0$:
$(\pi/2-arctan(x))^alpha~1$
$arctan^alpha(x)~x^alpha$
$(\pi/2+arctan(x))~1$
$(x^2+1)^alpha~1$
$(\pi/2-arctan(x))^alpha/(arctan^alpha(x)(\pi/2+arctan(x))(x^2+1)^alpha)~1/x^alpha$
Quindi la funzione è integrabile in un intorno di $0$ se e solo se $alpha<1$.
Riassumendo la funzione è integrabile per $1/3 Vorrei sapere se il mio ragionamento è corretto.

[gugo82]

Sì.

[thedarkhero]

Grazie
Altro dubbio...
$\int_{0}^{1} (arctan^(alpha+1/2)(x))/(1-sqrt(x))^alpha dx$
Studio la convergenza in un intorno di $0$:
$arctan^(alpha+1/2)(x)~x^(alpha+1/2)$
$(1-sqrt(x))^alpha~1$
$(arctan^(alpha+1/2)(x))/(1-sqrt(x))^alpha~x^(alpha+1/2)=1/x^(-alpha-1/2)$
Quindi la funzione è integrabile in un intorno di $0$ se e solo se $-alpha-1/2<1$ ovvero $alpha>-3/2$
Studio la convergenza in un intorno di $1$:
$arctan^(alpha+1/2)(x)~1$
$(1-sqrt(x))^alpha~???$
Qui mi blocco...

[gugo82]

Per l'arcotangente al numeratore non ti dà problemi, a meno che l'esponente non diventi negativo; in tal caso il numeratore va a $+oo$ con ordine $-(alpha+1/2)$ e quindi basta imporre che tale ordine sia minore di $1$, ossia che $alpha > -3/2$ (come da te stabilito).

Il denominatore, invece, dà problemi in $1$ solo se $alpha>0$; in tal caso devi andare a stabilire l'ordine d'infinito in $1$ di $1/(1-\sqrt(x))^alpha$ rispetto al campione $1/(1-x)$: questo problema è equivalente a studiare l'ordine dello zero della funzione $(1-\sqrt(x))^alpha$ rispetto a $1-x$:

$lim_(x\to 1^-) (1-\sqrt(x))^alpha/(1-x)^p=lim_(y\to 0^+) (1-\sqrt(1-y))^alpha/y^p=$
$\quad =lim_(y\to 0^+)((1-\sqrt(1-y))/y)^alpha*y^(alpha-p)=\quad$ (ho usato il limite notevole $lim_(z to 0) ((1+z)^theta-1)/z=theta$)
$\quad = (1/2)^alpha*lim_(y\to 0^+) y^(alpha-p)$

quindi per $p=alpha$ trovi esattamente:

$lim_(x\to 1^-) (1-\sqrt(x))^alpha/(1-x)^alpha=1/2^alpha$

cosicchè la funzione $(1-\sqrt(x))^alpha$ ha in $1$ uno zero d'ordine $alpha$. Ne viene che la funzione reciproca $1/(1-\sqrt(x))^alpha$ ha in $1$ un polo d'ordine $alpha$ (uso un po' di nomenclatura mutuata dall'Analisi Complessa, spero non ti dispiaccia), quindi:

$1/(1-sqrt(x))^alpha~1/(1-x)^alpha$

e ciò importa $alpha<1$.

Quindi il tuo integrando è sommabile per $-3/2).

[thedarkhero]

Perfetto, grazie ancora