Funzione iniettiva e suriettiva
Salve a tutti, sono nuova e questo forum mi sembra molto utile, spero possiate essermi di aiuto.
Uno dei problemi che ho riguarda l'iniettività e la suriettività. Conosco le loro definizioni:
Data una funzione A->B si dice che è iniettiva se ad ogni elemento di A corrisponde al più un elemento di B; mentre si dice suriettiva se il codominio è tutto B ovvero se ogni elemento di B corrisponde almeno ad un elemento del dominio.
Ora il mio problema riguarda: come verifico questo in sensi pratici? Non ho un esercizio a portata di mano, ma nel caso in cui mi trovassi davanti un esercizio come dovrei risolverlo per capire se è iniettiva o suriettiva?
Se potreste farlmeno mostrandomi anche un esempio. Io avrei i seguenti esercizi (li ho cercati ora):
\(\displaystyle arcsin (2x) \)
\(\displaystyle log_3(x^2-4) \)
\(\displaystyle 2^{\sqrt{-x^2+5x-4}} \)
sono tutti esempi diversi cosi forse dovrei capire come dovrebbe essere per ogni tipologia. Se potreste aiutarmi spiegandolo ve ne sarei molto grata.
Martina
Uno dei problemi che ho riguarda l'iniettività e la suriettività. Conosco le loro definizioni:
Data una funzione A->B si dice che è iniettiva se ad ogni elemento di A corrisponde al più un elemento di B; mentre si dice suriettiva se il codominio è tutto B ovvero se ogni elemento di B corrisponde almeno ad un elemento del dominio.
Ora il mio problema riguarda: come verifico questo in sensi pratici? Non ho un esercizio a portata di mano, ma nel caso in cui mi trovassi davanti un esercizio come dovrei risolverlo per capire se è iniettiva o suriettiva?
Se potreste farlmeno mostrandomi anche un esempio. Io avrei i seguenti esercizi (li ho cercati ora):
\(\displaystyle arcsin (2x) \)
\(\displaystyle log_3(x^2-4) \)
\(\displaystyle 2^{\sqrt{-x^2+5x-4}} \)
sono tutti esempi diversi cosi forse dovrei capire come dovrebbe essere per ogni tipologia. Se potreste aiutarmi spiegandolo ve ne sarei molto grata.
Martina
Risposte
$arcsin(2x)$ è biiettiva, sia iniettiva sia suriettiva: è iniettiva piuttosto ovviamente perché $arcsint$ è l'inversa di $sint$ ristretto all'intervallo \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) e se non lo fosse $sint$ non sarebbe una funzione (nel senso di funzione monodroma) perché assumerebbe più di un valore per la stessa ascissa, ed è suriettiva perché il codominio di $arcsint$ è definito (per la definizione stessa di $arcsint$ come inversa di $sint$ su \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \subset \text{dom}(\text{sin}t)\)) come \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) (non pensare quindi a $RR$), intervallo di cui $arcsint$ assume tutti i valori.
\(\text{log}_3(x^2-4)\), definita su $(-oo,-2) uu (2,+oo)$, non è iniettiva perchè i due rami sono simmetrici ed assume gli stessi valori per ogni $x$ e $-x$: \(\text{log}_3(x^2-4)=\text{log}_3((-x)^2-4)\). È suriettiva perché assume ogni valore del codominio $RR$: infatti \(\lim_{x \to ±\infty} \text{log}_3(x^2-4)=+\infty\), \(\lim_{x \to 2^-}\text{log}_3(x^2-4)=-\infty=\lim_{x \to 2^+} \text{log}_3(x^2-4)\) ed è continua nel proprio dominio, quindi i due rami non possono presentare alcuna discontinuità a salto.
$2^sqrt(-x^2+5x-4)$, definita su [1,4] perché solo lì la radice è non negativa, non è iniettiva perché la parabola $y=-x^2+5x-4$ è simmetrica rispetto a \(x=\frac{5}{2}\) e quindi anche la radice e $2^sqrt(-x^2+5x-4)$ sono simmetrici rispetto a \(x=\frac{5}{2}\). Non è suriettiva perché ha un massimo globale in corrispondenza di \(x=\frac{5}{2}\), retta su cui la parabola ha il vertice e quindi l'esponente di 2 è massimo e perciò la funzione non assumerà valori maggiori del valore assunto in quel punto. Si poteva anche calcolare la derivata \(\frac{2^{\sqrt{-x^2+5x-4}}(-2x+5)\text{ln}2}{2·\sqrt{-x^2+5x-4}}\), che risulta positiva per \(x<\frac{5}{2}\), nulla in \(x=\frac{5}{2}\) e negativa per \(x>\frac{5}{2}\) e trovare così il massimo globale.
Se ho sparato stupidate spero che qualcuno mi corregga...
Buono studio!
\(\text{log}_3(x^2-4)\), definita su $(-oo,-2) uu (2,+oo)$, non è iniettiva perchè i due rami sono simmetrici ed assume gli stessi valori per ogni $x$ e $-x$: \(\text{log}_3(x^2-4)=\text{log}_3((-x)^2-4)\). È suriettiva perché assume ogni valore del codominio $RR$: infatti \(\lim_{x \to ±\infty} \text{log}_3(x^2-4)=+\infty\), \(\lim_{x \to 2^-}\text{log}_3(x^2-4)=-\infty=\lim_{x \to 2^+} \text{log}_3(x^2-4)\) ed è continua nel proprio dominio, quindi i due rami non possono presentare alcuna discontinuità a salto.
$2^sqrt(-x^2+5x-4)$, definita su [1,4] perché solo lì la radice è non negativa, non è iniettiva perché la parabola $y=-x^2+5x-4$ è simmetrica rispetto a \(x=\frac{5}{2}\) e quindi anche la radice e $2^sqrt(-x^2+5x-4)$ sono simmetrici rispetto a \(x=\frac{5}{2}\). Non è suriettiva perché ha un massimo globale in corrispondenza di \(x=\frac{5}{2}\), retta su cui la parabola ha il vertice e quindi l'esponente di 2 è massimo e perciò la funzione non assumerà valori maggiori del valore assunto in quel punto. Si poteva anche calcolare la derivata \(\frac{2^{\sqrt{-x^2+5x-4}}(-2x+5)\text{ln}2}{2·\sqrt{-x^2+5x-4}}\), che risulta positiva per \(x<\frac{5}{2}\), nulla in \(x=\frac{5}{2}\) e negativa per \(x>\frac{5}{2}\) e trovare così il massimo globale.
Se ho sparato stupidate spero che qualcuno mi corregga...
Buono studio!
e $ arcotang ( x^(2) + 1) $ è iniettiva?
cmq il logaritmo è una funzione iniettiva se nn sbaglio......
DavideGenova grazie per la risposta ma avrei qualche domanda.
1) nella prima quindi devo considerare il dominio come \(\displaystyle [-\frac{\pi}{2}, +\frac{\pi}{2}] \)e come codominio mi sembra di aver capito \(\displaystyle (-1, +1) \)??
2) mi potresti spiegare un pochino meglio la suriettività del logaritmo?
3) quando prendiamo in considerazione un esercizio del genere prendiamo quindi per inteso che il codominio dovrebbe essere tutto \(\displaystyle R \)?
Grazie
1) nella prima quindi devo considerare il dominio come \(\displaystyle [-\frac{\pi}{2}, +\frac{\pi}{2}] \)e come codominio mi sembra di aver capito \(\displaystyle (-1, +1) \)??
2) mi potresti spiegare un pochino meglio la suriettività del logaritmo?
3) quando prendiamo in considerazione un esercizio del genere prendiamo quindi per inteso che il codominio dovrebbe essere tutto \(\displaystyle R \)?
Grazie
@Domodossola
1) Il dominio di $arcsint$ è l'immagine di $sint$ (o meglio della sua restrizione), cioè [-1,1], e il codominio è \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\), cioè il dominio della restrizione di $sint$ di cui $arcsint$ è l'inversa (nell'arcoseno l'input è la proiezione del raggio della circonferenza unitaria e l'output è l'angolo).
2) Scusa, avevo scritto per la fretta "dominio" invece di "codominio $RR$" (non ho riletto bene quanto avevo scritto perché mi ha chiamato l'anziana vicina per le solite cadute del marito)!
Visto che \(\text{log}_3(x^2-4)\) è continua sul suo dominio $(-oo,-2) uu (2,+oo)$ non presenta discontinuità a salto che possano creare "buchi" nell'immagine della funzione; visto che poi tende rispettivamente a $+oo$ e a $-oo$ agli estremi del dominio, i valori assunti dalla funzione non hanno un limite finito a cui "arrestarsi" e quindi l'immagine coincide con $RR$.
3) Sì.
@Clacla87
Sì, il logaritmo è iniettivo, ma se l'argomento del logaritmo è un quadrato o un quadrato + una costante, ritrovi simmetricamente gli stessi valori per ogni $x$ e $-x$, "di qua e di là" dall'asse delle ordinate, per riferirsi al grafico. Per lo stesso motivo \(\text{arctan}(x^2+1)\) non è iniettiva: \(\forall x \in \mathbb{R} \text{ }\text{arctan}(x^2+1)=\text{arctan}((-x)^2+1)\).
Ciao a tutti!
1) Il dominio di $arcsint$ è l'immagine di $sint$ (o meglio della sua restrizione), cioè [-1,1], e il codominio è \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\), cioè il dominio della restrizione di $sint$ di cui $arcsint$ è l'inversa (nell'arcoseno l'input è la proiezione del raggio della circonferenza unitaria e l'output è l'angolo).
2) Scusa, avevo scritto per la fretta "dominio" invece di "codominio $RR$" (non ho riletto bene quanto avevo scritto perché mi ha chiamato l'anziana vicina per le solite cadute del marito)!
Visto che \(\text{log}_3(x^2-4)\) è continua sul suo dominio $(-oo,-2) uu (2,+oo)$ non presenta discontinuità a salto che possano creare "buchi" nell'immagine della funzione; visto che poi tende rispettivamente a $+oo$ e a $-oo$ agli estremi del dominio, i valori assunti dalla funzione non hanno un limite finito a cui "arrestarsi" e quindi l'immagine coincide con $RR$.3) Sì.
@Clacla87
Sì, il logaritmo è iniettivo, ma se l'argomento del logaritmo è un quadrato o un quadrato + una costante, ritrovi simmetricamente gli stessi valori per ogni $x$ e $-x$, "di qua e di là" dall'asse delle ordinate, per riferirsi al grafico. Per lo stesso motivo \(\text{arctan}(x^2+1)\) non è iniettiva: \(\forall x \in \mathbb{R} \text{ }\text{arctan}(x^2+1)=\text{arctan}((-x)^2+1)\).
Ciao a tutti!
Davide unl'ultimissima cosa perdonami 
perchè hai fatto il \(\displaystyle \lim_{x\to2^+} \) del logaritmo? per verificare cosa? grazie mille per tutto..veramente di cuore
perchè hai fatto il \(\displaystyle \lim_{x\to2^+} \) del logaritmo? per verificare cosa? grazie mille per tutto..veramente di cuore
Non ti preoccupare! 
I limiti per $x -> +-2$, essendo $x=+-2$ punti della frontiera dei due sottoinsiemi del dominio, l'ho considerati per dimostrare che in quei punti \(\log_3(x^2-4) \rightarrow -\infty\), mentre tende a $+oo$ per $x->+-oo$, quindi, non presentando salti per nessuno dei suoi rami, "copre" con entrambi tutto l'asse reale. Se pensi al grafico, noterai che non ci sono interruzioni e se ti avvicini a ±2 la funzione assume valori arbitrariamente "bassi", mentre assume valori arbitrariamente "grandi" per $x->+-oo$, quindi è suriettiva, assumendo ogni valore appartenente al codominio $RR$.
Volevo aggiungerti una precisazione sul dominio dell'arcoseno, che prima sbrigativamente non ho scritto: se \(\text{dom}(\text{arcsin}t)=[-1,1] \) allora \(\text{dom}(\text{arcsin}(2x))=[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}] \) perché hai sostituito $2x$ a t, ma l'avrai certamente già capito.
Ciao!
I limiti per $x -> +-2$, essendo $x=+-2$ punti della frontiera dei due sottoinsiemi del dominio, l'ho considerati per dimostrare che in quei punti \(\log_3(x^2-4) \rightarrow -\infty\), mentre tende a $+oo$ per $x->+-oo$, quindi, non presentando salti per nessuno dei suoi rami, "copre" con entrambi tutto l'asse reale. Se pensi al grafico, noterai che non ci sono interruzioni e se ti avvicini a ±2 la funzione assume valori arbitrariamente "bassi", mentre assume valori arbitrariamente "grandi" per $x->+-oo$, quindi è suriettiva, assumendo ogni valore appartenente al codominio $RR$.Volevo aggiungerti una precisazione sul dominio dell'arcoseno, che prima sbrigativamente non ho scritto: se \(\text{dom}(\text{arcsin}t)=[-1,1] \) allora \(\text{dom}(\text{arcsin}(2x))=[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}] \) perché hai sostituito $2x$ a t, ma l'avrai certamente già capito.
Ciao!
Grazie mille Davide 
ho capito tutto veramente molto gentile
ho capito tutto veramente molto gentile
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