Funzione iniettiva
per quanto possa sembrare lavativo il mio comportamento, non scrivo procedimenti svolti perché la consegna dell’esercizio non è capita, e non saprei da dove iniziare. Perdonatemi se non scriverò procedimenti ma spero nelle vostre spiegazioni per poter provarmi in altre consegne ( girando intorno, sono tutte simili…e tutte così diverse per me=(
f(x)=$arctgsqrt(e^(2x+|x-1|))$
provare che la f è iniettiva e trovare ‘insieme di definizione e la legge di $f^-1$
vi ringrazio per l-aiuto.
f(x)=$arctgsqrt(e^(2x+|x-1|))$
provare che la f è iniettiva e trovare ‘insieme di definizione e la legge di $f^-1$
vi ringrazio per l-aiuto.
Risposte
Ti dico il ragionamento che mi viene spontaneo fare appena vedo questa funzione. Te lo dico alla buona e la formalizzazione la fai te.
Quando parli di funzioni reali l'iniettività spesso coincide con continuità+monotonia stretta. Nel senso che se una funzione è continua e strettamente monotona (sempre crescente o sempre descrescente) è evidentemente iniettiva.
Allora:
$2x+|x-1|$ è continua e str. crescente su R
$e^x$ è continua e str. crescente su R
$sqrtx$ è continua e str. crescente in $]0,+infty[$
$arctg(x)$ è continua e str crescente in R.
Attacchiamo i pezzi:
$y=2x+|x-1|$ è continua e str. crescente in R(se non lo vedi ad occhio ti fai il disegnino)
$z=e^y$ quindi è continua e str. crescente in R. Inoltre è sempre positiva (cioè >0). Quindi non avrò problemi al passo successivo per la radice.
Quindi $t=sqrtz$ è continua e str. crescente in R.
Infine $arctg(t)$ che è quello che vogliamo è continua e str. crescente in R. Quindi è iniettiva per quanto detto all'inizio.
Quando parli di funzioni reali l'iniettività spesso coincide con continuità+monotonia stretta. Nel senso che se una funzione è continua e strettamente monotona (sempre crescente o sempre descrescente) è evidentemente iniettiva.
Allora:
$2x+|x-1|$ è continua e str. crescente su R
$e^x$ è continua e str. crescente su R
$sqrtx$ è continua e str. crescente in $]0,+infty[$
$arctg(x)$ è continua e str crescente in R.
Attacchiamo i pezzi:
$y=2x+|x-1|$ è continua e str. crescente in R(se non lo vedi ad occhio ti fai il disegnino)
$z=e^y$ quindi è continua e str. crescente in R. Inoltre è sempre positiva (cioè >0). Quindi non avrò problemi al passo successivo per la radice.
Quindi $t=sqrtz$ è continua e str. crescente in R.
Infine $arctg(t)$ che è quello che vogliamo è continua e str. crescente in R. Quindi è iniettiva per quanto detto all'inizio.
Per quanto riguarda l'iniettività puoi fare in 2 modi. O applichi la definizione ($f$ iniettiva $iff f(x_1 )=f(x_2)$ implica necessariamente $x_1 =x_2$) oppure fai la derivata e guardi se è sempre positiva o sempre negativa (perchè se ci pensi se una funzione è strettamente monotona è anche iniettiva).
Per l'insieme di definizione di $f^-1$ trova estremo superiore ed estremo inferiore della $f$ così vedrai quali sono i valori "di confine" che assume la $f$. Per trovarli fai la derivata per trovare massimi e minimi e i limiti ai confini del dominio (in questo caso il dominio di $f$ è $R$, dunque fai il limite a $- \infty, + \infty$).
Per trovare l'espressione di $f^-1$ basta che ricavi la $x$ in funzione di $y$ (ove $y=f(x)$).
Prova e se hai problemi riposta.
Paola
Per l'insieme di definizione di $f^-1$ trova estremo superiore ed estremo inferiore della $f$ così vedrai quali sono i valori "di confine" che assume la $f$. Per trovarli fai la derivata per trovare massimi e minimi e i limiti ai confini del dominio (in questo caso il dominio di $f$ è $R$, dunque fai il limite a $- \infty, + \infty$).
Per trovare l'espressione di $f^-1$ basta che ricavi la $x$ in funzione di $y$ (ove $y=f(x)$).
Prova e se hai problemi riposta.
Paola
"prime_number":
Per quanto riguarda l'iniettività puoi fare in 2 modi. O applichi la definizione ($f$ iniettiva $iff f(x_1 )=f(x_2)$ implica necessariamente $x_1 =x_2$) oppure fai la derivata e guardi se è sempre positiva o sempre negativa (perchè se ci pensi se una funzione è strettamente monotona è anche iniettiva).
Per l'insieme di definizione di $f^-1$ trova estremo superiore ed estremo inferiore della $f$ così vedrai quali sono i valori "di confine" che assume la $f$. Per trovarli fai la derivata per trovare massimi e minimi e i limiti ai confini del dominio (in questo caso il dominio di $f$ è $R$, dunque fai il limite a $- \infty, + \infty$).
Per trovare l'espressione di $f^-1$ basta che ricavi la $x$ in funzione di $y$ (ove $y=f(x)$).
Prova e se hai problemi riposta.
Paola
ringrazio innanzitutto megan...chiaro
ho provato ad applicare quanto mi hai detto prime number e la derivata mi viene ( se non ho sbagliato i calcoli...:f(x) = $e^(2x+|x-1|)*(2+|1|)/((1+(e^(2x+|x-1|))(2sqrt(e^(2x+|x-1|)))$
per il valore assoluto devo considerarle separatamente, giusto?
per trovare massimi e minimi devo eguagliare a 0 la derivata prima e calcolare la derivata seconda e vedere se il numero che ottengo sostiuendo è <>0? ancora faccio parecchia confusione.
una domanda: come verrebbe il procedimento se si applicasse la definizione? lo hanno illustrato sempre così...ma non saprei come farne uso. ti ringrazio prime number. Se non ci foste voi!
Può essere molto complicato calcolare la derivata seconda di una funzione .
Per trovare max e min della funzione può essere più semplice fermarsi alla derivata prima , trovare i valori che la annullano che sono candidati ad essere punti di max o min relativo.
Dopodichè risolvere la disequazione $ f'(x ) > 0 $ e $f'(x) < 0 $ .
Ricordando che
$f'(x) > 0 rarr $ funzione crescente
$f'(x) <0 rarr $ funzione decrescente
è facile fare un diagramma e vedere se i valori che annullano la derivata prima sono punti di
max
min
flesso a tangente orizzontale
Per trovare max e min della funzione può essere più semplice fermarsi alla derivata prima , trovare i valori che la annullano che sono candidati ad essere punti di max o min relativo.
Dopodichè risolvere la disequazione $ f'(x ) > 0 $ e $f'(x) < 0 $ .
Ricordando che
$f'(x) > 0 rarr $ funzione crescente
$f'(x) <0 rarr $ funzione decrescente
è facile fare un diagramma e vedere se i valori che annullano la derivata prima sono punti di
max
min
flesso a tangente orizzontale
"Camillo":
Può essere molto complicato calcolare la derivata seconda di una funzione .
Per trovare max e min della funzione può essere più semplice fermarsi alla derivata prima , trovare i valori che la annullano che sono candidati ad essere punti di max o min relativo.
Dopodichè risolvere la disequazione $ f'(x ) > 0 $ e $f'(x) < 0 $ .
Ricordando che
$f'(x) > 0 rarr $ funzione crescente
$f'(x) <0 rarr $ funzione decrescente
è facile fare un diagramma e vedere se i valori che annullano la derivata prima sono punti di
max
min
flesso a tangente orizzontale
questo semplificherebbe molti calcoli:) ma procedendo per definizione non dovrebbe essere più semplice? non saprei come procedere è vero, ma sembra essere molto più sbrigativo...forse mi sbaglio. qualcuno sarebbe in grad di illustrarmi il procedimento attraverso la definizione? grazie
A quale definizione ti riferisci esattamente ?
Farò comunque un esempio di determinazione di max e min relativi usando i due metodi
Sia $ y =x^3/3+x^2-3x+5 $ la funzione di cui si vogliono determinare max e min relativi
A) calcolo $ y' =x^2+2x-3 $ , trovo i valori per cui si annulla la derivata prima che sono $ x=-3 , x=1 $ , candidati ad essere punti di max , di min o di flesso orizzontale.
calcolo la derivata seconda $ f''(x) = 2x+2 $ e la valuto in $ x=-3 ; f''(-3) = -4 <0; $ quindi $x=-3 $ è punto di max relativo .
calcolo ora $ f''(1) = 4 >0 $ quindi $x=1 $ è punto di min relativo .
B) invece di calcolare la derivata seconda ( che in questo caso è molto semplice ma in altri no)risolvo la disequazione $ f'(x) > 0 $ ,cioè $x^2+2x-3 > 0 $ . Le soluzioni sono $(-oo,-3) U( 1, +oo )$.
Naturalemnte è $ f'(x) <0 $ per $ (-3, 1 ) $ .
In conclusione
in $(-oo,-3 ) $ si ha che $f(x ) $ è crescente
in $ ( -3,1 ) $ $f(x) $ è decrescente
in $ ( 1,+oo)$ $f(x) $ è crescente e quindi $x=-3$ è punto di max relativo e $ x=1 $ è punto di min relativo.
Farò comunque un esempio di determinazione di max e min relativi usando i due metodi
Sia $ y =x^3/3+x^2-3x+5 $ la funzione di cui si vogliono determinare max e min relativi
A) calcolo $ y' =x^2+2x-3 $ , trovo i valori per cui si annulla la derivata prima che sono $ x=-3 , x=1 $ , candidati ad essere punti di max , di min o di flesso orizzontale.
calcolo la derivata seconda $ f''(x) = 2x+2 $ e la valuto in $ x=-3 ; f''(-3) = -4 <0; $ quindi $x=-3 $ è punto di max relativo .
calcolo ora $ f''(1) = 4 >0 $ quindi $x=1 $ è punto di min relativo .
B) invece di calcolare la derivata seconda ( che in questo caso è molto semplice ma in altri no)risolvo la disequazione $ f'(x) > 0 $ ,cioè $x^2+2x-3 > 0 $ . Le soluzioni sono $(-oo,-3) U( 1, +oo )$.
Naturalemnte è $ f'(x) <0 $ per $ (-3, 1 ) $ .
In conclusione
in $(-oo,-3 ) $ si ha che $f(x ) $ è crescente
in $ ( -3,1 ) $ $f(x) $ è decrescente
in $ ( 1,+oo)$ $f(x) $ è crescente e quindi $x=-3$ è punto di max relativo e $ x=1 $ è punto di min relativo.
"Camillo":
A quale definizione ti riferisci esattamente ?
Farò comunque un esempio di determinazione di max e min relativi usando i due metodi
Sia $ y =x^3/3+x^2-3x+5 $ la funzione di cui si vogliono determinare max e min relativi
A) calcolo $ y' =x^2+2x-3 $ , trovo i valori per cui si annulla la derivata prima che sono $ x=-3 , x=1 $ , candidati ad essere punti di max , di min o di flesso orizzontale.
calcolo la derivata seconda $ f''(x) = 2x+2 $ e la valuto in $ x=-3 ; f''(-3) = -4 <0; $ quindi $x=-3 $ è punto di max relativo .
calcolo ora $ f''(1) = 4 >0 $ quindi $x=1 $ è punto di min relativo .
B) invece di calcolare la derivata seconda ( che in questo caso è molto semplice ma in altri no)risolvo la disequazione $ f'(x) > 0 $ ,cioè $x^2+2x-3 > 0 $ . Le soluzioni sono $(-oo,-3) U( 1, +oo )$.
Naturalemnte è $ f'(x) <0 $ per $ (-3, 1 ) $ .
In conclusione
in $(-oo,-3 ) $ si ha che $f(x ) $ è crescente
in $ ( -3,1 ) $ $f(x) $ è decrescente
in $ ( 1,+oo)$ $f(x) $ è crescente e quindi $x=-3$ è punto di max relativo e $ x=1 $ è punto di min relativo.
si...tutto chiaro. facevo riferimento alla definizione di funzione iniettiva: f(x1)=f(x2) se e solo se x1=x2...
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