Funzione iniettiva
Ciao a tutti 
. Sto risolvendo il seguente esercizio:
Sia $f : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ la funzione tale che: f(z) = {3z - 1 se z è pari , 4z - 2 se z è dispari
Determinare se f è iniettiva.
Prima di tutto ho verificato che 3z - 1 e 4z - 2 fossero iniettive individualmente, dopodiché ho considerato la funzione nel suo complesso. Per vedere se è iniettiva o meno ho considerato:
$3z_{1} - 1 = 4z_{2} - 2$
da cui deriva:
$3z_{1} = 4z_{2} - 1$
a questo punto, da testo, $z_{1}$ può essere solo un numero pari, mentre $z_{2}$ può essere solo un numero dispari.
Di conseguenza posso ricavare che il primo membro dell'equazione sarà sempre un numero pari mentre il secondo membro sarà sempre un numero dispari, quindi la funzione non è iniettiva.
Ora però penso di aver ragionato in modo sbagliato siccome il libro dice che invece la funzione è iniettiva, ma non capisco come mai.
. Sto risolvendo il seguente esercizio:Sia $f : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ la funzione tale che: f(z) = {3z - 1 se z è pari , 4z - 2 se z è dispari
Determinare se f è iniettiva.
Prima di tutto ho verificato che 3z - 1 e 4z - 2 fossero iniettive individualmente, dopodiché ho considerato la funzione nel suo complesso. Per vedere se è iniettiva o meno ho considerato:
$3z_{1} - 1 = 4z_{2} - 2$
da cui deriva:
$3z_{1} = 4z_{2} - 1$
a questo punto, da testo, $z_{1}$ può essere solo un numero pari, mentre $z_{2}$ può essere solo un numero dispari.
Di conseguenza posso ricavare che il primo membro dell'equazione sarà sempre un numero pari mentre il secondo membro sarà sempre un numero dispari, quindi la funzione non è iniettiva.
Ora però penso di aver ragionato in modo sbagliato siccome il libro dice che invece la funzione è iniettiva, ma non capisco come mai.
Risposte
Chiaramente se $z_1,z_2$ sono entrambi pari od entrambi dispari, hai $z_1\ne z_2\ \Rightarrow\ f(z_1)\ne f(z_2)$, ergo bisogna dimostrare che l'implicazione resta valida anche se $z_1$ è pari e $z_2$ è dispari.
Dato che $z_1$ pari implica che $f(z_1)=3z_1-1$ è dispari (precede il numero pari $3z_1$) e che $z_2$ dispari implica che $f(z_2)=4z_2-2$ è pari (è il pari che precede il numero pari $4z_2$), e visto che non c'è alcun intero contemporaneamente pari e dispari, è evidente che $f(z_1)\ne f(z_2)$.
Per questo motivo, la $f$ è iniettiva.
Dato che $z_1$ pari implica che $f(z_1)=3z_1-1$ è dispari (precede il numero pari $3z_1$) e che $z_2$ dispari implica che $f(z_2)=4z_2-2$ è pari (è il pari che precede il numero pari $4z_2$), e visto che non c'è alcun intero contemporaneamente pari e dispari, è evidente che $f(z_1)\ne f(z_2)$.
Per questo motivo, la $f$ è iniettiva.
Scusa ma non ho capito... 
$z_{1}, z_{2}$ non possono essere contemporaneamente pari o dispari perchè nel caso di $z_{1}$ posso avere solo numeri pari quindi come potrei avere anche un numero dispari? Idem per $z_{2}$ ma in relazione a numeri dispari. Per questo non riesco a capire come possa essere iniettiva perchè qualsiasi z io prenda avrò sempre un numero pari a primo membro e un numero dispari a secondo membro...
E' così sbagliato come ragionamento?
$z_{1}, z_{2}$ non possono essere contemporaneamente pari o dispari perchè nel caso di $z_{1}$ posso avere solo numeri pari quindi come potrei avere anche un numero dispari? Idem per $z_{2}$ ma in relazione a numeri dispari. Per questo non riesco a capire come possa essere iniettiva perchè qualsiasi z io prenda avrò sempre un numero pari a primo membro e un numero dispari a secondo membro...
E' così sbagliato come ragionamento?
Qual è la definizione di funzione iniettiva?
Una funzione è iniettiva quando associa ad elementi distinti del dominio elementi distinti del codominio. Questo significa che non esistono elementi del dominio che possono essere associati ad un stesso elemento del codomino.
Appunto... La tua $f$ è quindi iniettiva se e solo se:
\[
\tag{*}
z_1\neq z_2\quad \Rightarrow \quad f(z_1)\neq f(z_2)
\]
per ogni $z_1,z_2\in \ZZ$.
Fissati che siano $z_1\ne z_2$, per provare che vale la (*) conviene distinguere quattro casi:
[list=1][*:3u0hgnej] $z_1$ e $z_2$ sono entrambi pari: in tal caso, dato che la restrizione di $f$ all'insieme dei numeri pari è iniettiva, è evidente che vale la (*);
[/*:m:3u0hgnej]
[*:3u0hgnej] $z_1$ e $z_2$ sono entrambi dispari: in tal caso, dato che la restrizione di $f$ all'insieme dei numeri dispari è iniettiva, è evidente che vale la (*);
[/*:m:3u0hgnej]
[*:3u0hgnej] $z_1$ è pari e $z_2$ è dispari: in tal caso $f(z_1)$ è dispari mentre $f(z_2)$ è pari e, dato che non esistono interi contemporaneamente pari e dispari, da ciò segue $f(z_1)\ne f(z_2)$, ossia vale la (*);
[/*:m:3u0hgnej]
[*:3u0hgnej] $z_1$ è dispari e $z_2$ è pari: la (*) segue come nel caso precedente;[/*:m:3u0hgnej][/list:o:3u0hgnej]
quindi la (*) vale per ogni $z_1\ne z_2$ e dunque $f$ è iniettiva.
\[
\tag{*}
z_1\neq z_2\quad \Rightarrow \quad f(z_1)\neq f(z_2)
\]
per ogni $z_1,z_2\in \ZZ$.
Fissati che siano $z_1\ne z_2$, per provare che vale la (*) conviene distinguere quattro casi:
[list=1][*:3u0hgnej] $z_1$ e $z_2$ sono entrambi pari: in tal caso, dato che la restrizione di $f$ all'insieme dei numeri pari è iniettiva, è evidente che vale la (*);
[/*:m:3u0hgnej]
[*:3u0hgnej] $z_1$ e $z_2$ sono entrambi dispari: in tal caso, dato che la restrizione di $f$ all'insieme dei numeri dispari è iniettiva, è evidente che vale la (*);
[/*:m:3u0hgnej]
[*:3u0hgnej] $z_1$ è pari e $z_2$ è dispari: in tal caso $f(z_1)$ è dispari mentre $f(z_2)$ è pari e, dato che non esistono interi contemporaneamente pari e dispari, da ciò segue $f(z_1)\ne f(z_2)$, ossia vale la (*);
[/*:m:3u0hgnej]
[*:3u0hgnej] $z_1$ è dispari e $z_2$ è pari: la (*) segue come nel caso precedente;[/*:m:3u0hgnej][/list:o:3u0hgnej]
quindi la (*) vale per ogni $z_1\ne z_2$ e dunque $f$ è iniettiva.
Ok...quindi se sto capendo anche la funzione f(n)={n + 5 se n $\leq$ 8 , 2n + 1 se n > 8 è globalmente iniettiva perchè per $(n_{1})≠(n_{2})$ risulta $f(n_{1})≠f(n_{2})$.
Ad esempio se in $n_{1} + 5 = 2n_{2} + 1$ sostituisco $n_{1} = 8$ e $n_{2} = 9$ ottengo $13 ≠ 19$.
E' corretto?
Ad esempio se in $n_{1} + 5 = 2n_{2} + 1$ sostituisco $n_{1} = 8$ e $n_{2} = 9$ ottengo $13 ≠ 19$.
E' corretto?
Beh, anche qui potresti distinguere casi... Ad esempio, fissati $n_1,n_2\in \NN$ hai:
[list=1]
[*:3v91zfm6] $n_1,n_2<=8$,
[/*:m:3v91zfm6]
[*:3v91zfm6] $n_1<= 8 < n_2$ oppure $n_2<= 8 < n_1$,
[/*:m:3v91zfm6]
[*:3v91zfm6] $8
[list=1]
[*:3v91zfm6] $n_1,n_2<=8$,
[/*:m:3v91zfm6]
[*:3v91zfm6] $n_1<= 8 < n_2$ oppure $n_2<= 8 < n_1$,
[/*:m:3v91zfm6]
[*:3v91zfm6] $8
Davvero grazie mille per la disponibilità!!
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