Funzione indicatrice e processo di conteggio

[mobley]

[hide="."]Chiedo in tutta cortesia alla moderazione di questa sezione (sempre disponibile) di non spostare il post in Statistica, dove il suo corrispettivo non può definirsi altrettanto.[/hide]
Sia ${N_t}_({t\in [0,T]}):=\mathbb(1)_({\tau<=T}):=k,\forall t\in [\tau_(k)<=\tau_(k+1))~ Po(\lambda_t:=\int_(0)^(t)\lambda_sds<+\infty)$ un processo di conteggio con $\tau$ generico istante di default. Devo esprimere $\mathbb(E)^(\mathbb(Q))[\mathbb(1)_({t<=\tau<=T}e^(-\int_(t)^(\tau)r_sds))]$ in forma integrale.

Tenendo a mente che per variabili aleatorie assolutamente continue $\mathbb(E)[X]:=\int_(\mathbb(R))xf(x)ds$, posso riscrivere tale valore atteso in forma integrale definendolo sul mio intero spazio campionario $(t,T)$ (essendo $(t,T)$ il supporto della funzione indicatrice). La v.a. $x$ che costituirà tale integrale sarà proprio la funzione indicatrice, che indica la probabilità che il default si verifichi nell’intervallo considerato. Ma d'altra parte, questa stessa funzione descrive il processo che conta i potenziali default che si possono verificare in $(t,T)$, ergo un processo di conteggio $N_t$. E siccome la funzione di densità di un processo di conteggio è una Poisson di intensità $λ$, il docente dice che tale valore atteso si può riscrivere come:

$=[-\int_(t)^(T) e^(-\int_(t)^(s)r_udu) \gamma(s)e^(-\int_(0)^(s)\gamma(u)du)ds]$

1) Se la PDF per una Poisson è $(e^(-\lambda)\lambda^k)/(k!)$, da dove salta fuori $\gamma(s)e^(-\int_(0)^(s)\gamma(u)du)$?

2) Se il parametro di tale distribuzione è per definizione $\lambda$, per quale motivo viene posto quel $\gamma$? Solo per comodità (cosicché nel prosieguo della dimostrazione tale esponenziale si possa semplificare con uno stesso esponenziale di segno positivo che è posto al di fuori della parentesi)?

La funzione integranda $\gamma$ relativa all'integrale dell'esponenziale fuori da parentesi rappresenta quello che in letteratura è definito "Hazard Rate", ovvero il rapporto tra la funzione di densità per un generico istante di default $\tau$ che è tale per cui la sua funzione di ripartizione è $F(t):=P(\tau<=t),\forall t\in [0,T]$ e la relativa funzione di sopravvivenza $\bar(F):=1-P(\tau>t):=1-F(t)$. Formalmente:

$lim_(h -> 0)(P(\tau<=t+h|\tau>t))/(h)=(f(t))/(\bar(F)(t)) :=\gamma(t)$ con $f(t):=lim_(h -> 0)(F(t+h)-F(t))/(h)$

Per ulteriori info sul passaggio che non mi è chiaro:

[gugo82]

[xdom="gugo82"]

"mobley":[hide="."]Chiedo in tutta cortesia alla moderazione di questa sezione (sempre disponibile) di non spostare il post in Statistica, dove il suo corrispettivo non può definirsi altrettanto[/hide]

Come again?
Can't figure out whatcha meaning...

Spiega o chiudo.[/xdom]

[mobley]

"gugo82":Spiega o chiudo.

C'è assai poco da spiegare caro gugo: se in questa sezione del forum le risposte ai thread da parte della moderazione vengono date soltanto in relazione all'interesse o alla particolarità che suscitano gli stessi, nella sezione Statistica e probabilità le risposte da parte della moderazione vengono date in relazione all'autore del thread. Questo mi sembra alquanto evidente

[gugo82]

[xdom="gugo82"]Perfetto.

Detto ciò chiudo.[/xdom]