Funzione in una variabile complessa.
sia $f$ una funzione olomorfa di una variabile complessa tale che detto $E$ il disco unitario di centro 0 e raggio 1, se $f$ è identicamente nulla sull'intevallo $[-1,1]$ allora $f$ è nulla su tutto $E$... ora il mio prof mi ha detto che se cambio segmento vale a dire per esempio $[-i,i]$ questo non è più vero.
mi ha detto che questo è legato al fatto che il segmento $[-1,1]$ è reale mentre $[-i,i]$ no.
qualcuno sa darmi qualche delucidazione e/o referenza? io sono uno studente del terzo anno in mate ed è la prima volta che faccio queste funzioni olomorfe.
grazie
[mod="Martino"]Le funzioni olomorfe riguardano analisi complessa, quindi la sezione giusta è analisi. Sposto.[/mod]
mi ha detto che questo è legato al fatto che il segmento $[-1,1]$ è reale mentre $[-i,i]$ no.
qualcuno sa darmi qualche delucidazione e/o referenza? io sono uno studente del terzo anno in mate ed è la prima volta che faccio queste funzioni olomorfe.
grazie
[mod="Martino"]Le funzioni olomorfe riguardano analisi complessa, quindi la sezione giusta è analisi. Sposto.[/mod]
Risposte
mmh.. in realtà è qualche anno che non vedo una funzione olomorfa...
Provo a buttartela lì, tanto per darti un suggerimento o forse buttarti fuori strada!
Non è che si può vedere sviluppando la funzione in serie? Se è vero che è nulla, si dovrebbe avere che gli integrali che ti danno lo sviluppo in serie nella palla $B(0,1)$ di una funzione che vale $0$ sull'intervallo $[-1,1]$ sono tutti nulli.
A senso questa condizione deve verificarsi per forza se sappiamo che, come ha detto il tuo prof., la funzione è identicamente nulla.
Fammi sapere
ciao
Provo a buttartela lì, tanto per darti un suggerimento o forse buttarti fuori strada!
Non è che si può vedere sviluppando la funzione in serie? Se è vero che è nulla, si dovrebbe avere che gli integrali che ti danno lo sviluppo in serie nella palla $B(0,1)$ di una funzione che vale $0$ sull'intervallo $[-1,1]$ sono tutti nulli.
A senso questa condizione deve verificarsi per forza se sappiamo che, come ha detto il tuo prof., la funzione è identicamente nulla.
Fammi sapere
ciao
non ho ben capito. puoi essere piu chiaro per favore?
Quello a cui fa riferimento Fox è il succo di un teorema, detto dell'unicita del prolungamento analitico:
Sia $Omega\subCC$ un aperto connesso, $f, g:Omega\toCC$ due funzioni analitiche, $A\subOmega$ che ha in $Omega$ dei punti di accumulazione. Se $f(z)=g(z), \forallz\inA$ allora $f(z)=g(z), \forall z\inOmega$.
La dimostrazione è essenzialmente quello che diceva Fox: se $a\inOmega$ è un punto di accumulazione per $A$, esaminando $f-g$ intorno ad $a$ salterà fuori che tutti i termini dello sviluppo in serie di Taylor di centro $a$ di questa funzione sono nulli. Dalla connessione di $Omega$ segue facilmente che $f-g$ è la funzione nulla.
Ora una conseguenza fondamentale del teorema di Cauchy è che tutte le funzioni olomorfe sono analitiche e viceversa. Quindi, se due funzioni olomorfe coincidono su un insieme $A$ che si accumula da qualche parte, esse coincidono sul più grande aperto connesso contenente $A$ e contenuto nel dominio delle due funzioni.
Nello specifico hai una funzione olomorfa $f$ definita sull'aperto connesso $E$. Chiamiamo $A=(-1, 1)$; questo insieme ha evidentemente dei punti di accumulazione. Per ipotesi le funzioni olomorfe $f$ e $0$ coincidono su $A$: ma allora esse coincidono sul più grande aperto connesso contenente $A$ e contenuto nel dominio di $f$ ($0$ è definita ovunque). Fuori dai denti, $f=0$ su tutto $E$.
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Questo discorso, però, si può fare pari pari anche chiamando $A$ l'intervallo "verticale" $(-i, i)$. Del resto, se una funzione $f:E\toCC$ si annulla in $(-1, 1)$, la funzione $f(iz)$ si annulla in $(-i, i)$ e viceversa. Ritengo quindi che tu abbia frainteso ciò che ti voleva dire il professore, prova a ricontrollare i tuoi appunti e/o a chiederglielo di persona.
Sia $Omega\subCC$ un aperto connesso, $f, g:Omega\toCC$ due funzioni analitiche, $A\subOmega$ che ha in $Omega$ dei punti di accumulazione. Se $f(z)=g(z), \forallz\inA$ allora $f(z)=g(z), \forall z\inOmega$.
La dimostrazione è essenzialmente quello che diceva Fox: se $a\inOmega$ è un punto di accumulazione per $A$, esaminando $f-g$ intorno ad $a$ salterà fuori che tutti i termini dello sviluppo in serie di Taylor di centro $a$ di questa funzione sono nulli. Dalla connessione di $Omega$ segue facilmente che $f-g$ è la funzione nulla.
Ora una conseguenza fondamentale del teorema di Cauchy è che tutte le funzioni olomorfe sono analitiche e viceversa. Quindi, se due funzioni olomorfe coincidono su un insieme $A$ che si accumula da qualche parte, esse coincidono sul più grande aperto connesso contenente $A$ e contenuto nel dominio delle due funzioni.
Nello specifico hai una funzione olomorfa $f$ definita sull'aperto connesso $E$. Chiamiamo $A=(-1, 1)$; questo insieme ha evidentemente dei punti di accumulazione. Per ipotesi le funzioni olomorfe $f$ e $0$ coincidono su $A$: ma allora esse coincidono sul più grande aperto connesso contenente $A$ e contenuto nel dominio di $f$ ($0$ è definita ovunque). Fuori dai denti, $f=0$ su tutto $E$.
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Questo discorso, però, si può fare pari pari anche chiamando $A$ l'intervallo "verticale" $(-i, i)$. Del resto, se una funzione $f:E\toCC$ si annulla in $(-1, 1)$, la funzione $f(iz)$ si annulla in $(-i, i)$ e viceversa. Ritengo quindi che tu abbia frainteso ciò che ti voleva dire il professore, prova a ricontrollare i tuoi appunti e/o a chiederglielo di persona.
si ok questo lo sapevo... ma non sfrutto il fatto che l'intervallo $[-1,1]$ è contenuto in $RR$. il prof ha detto che è una peculiarità del fatto che l'intervallo è reale.
ad esempio mi ha detto che la funzione $f=z*w$ dove $(z,w)\in CC^2$ si annulla su la retta complessa $z=0$ ma è ben lontana dall'essere la funzione nulla!!!!!
ad esempio mi ha detto che la funzione $f=z*w$ dove $(z,w)\in CC^2$ si annulla su la retta complessa $z=0$ ma è ben lontana dall'essere la funzione nulla!!!!!
"miuemia":
si ok questo lo sapevo... ma non sfrutto il fatto che l'intervallo $[-1,1]$ è contenuto in $RR$. il prof ha detto che è una peculiarità del fatto che l'intervallo è reale.
ad esempio mi ha detto che la funzione $f=z*w$ dove $(z,w)\in CC^2$ si annulla su la retta complessa $z=0$ ma è ben lontana dall'essere la funzione nulla!!!!!
il risultato di cui parli te dovrebbe valere in più variabili ($n>=2$) e non in una sola, lo suggerisce anche l'esempio del tuo professore che ha preso una funzione olomorfa in due variabili.
si infati. adesso mi so fissato! ad esempio in due variabili come si dimostra?
"miuemia":
si ok questo lo sapevo... ma non sfrutto il fatto che l'intervallo $[-1,1]$ è contenuto in $RR$. il prof ha detto che è una peculiarità del fatto che l'intervallo è reale.
ad esempio mi ha detto che la funzione $f=z*w$ dove $(z,w)\in CC^2$ si annulla su la retta complessa $z=0$ ma è ben lontana dall'essere la funzione nulla!!!!!
Allora ti prego di stare più attento a quello che scrivi, per non fare perdere tempo agli altri utenti del forum. Da nessuna parte nel tuo post si capisce che parli di funzioni di più variabili, anzi addirittura nel titolo scrivi "funzioni di una variabile complessa". Per favore, cambia il titolo ("funzioni di più variabili complesse" va bene) e possibilmente modifica il post iniziale specificando bene di cosa parli. Grazie.
chiedo scusa. umilmente! allora l'esercizio è per $n>=2$. evidentemente non avevo capito che il prof si riferiva a più dimensioni!
scusate ancora!
scusate ancora!
dopo molti pensieri su questo problema sono riuscito a risolverlo e anche a capire xkè la dimensione della varietà deve essere $n$.
grazie a tutti per l'aiuto
grazie a tutti per l'aiuto
Il mio Prof. di Analisi mi ha dato il testo completo dell'esercizio. Sia $N$ una varietà reale In $CC^n$ di dimensione Reale $n$ e sia una $W$ un intorno di $N$ e sia $f$ una funzione olomorfa tale che $f|N=0$ identicamente allora $f$ è identicamente nulla su $W$.
Chiedo scusa per i post precedenti se sono stati non corretti.
Ciao a tutti
Chiedo scusa per i post precedenti se sono stati non corretti.
Ciao a tutti
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