Funzione in L^p

[kika_17]

Ciao a tutti, sto cercando di capire come si fa a risolvere questo esercizio, qualcuno può aiutarmi per favore?

"Si consideri la funzione

$ f(x) = (sinx)/(x+ie^x) $

dire se appartiene a $ L^infty (RR), L^1 (RR) , L^2 (RR) $ "

Allora, $ L^p (RR) $ è lo spazio a p-esima potenza sommabile, e una funzione è a p-sommabile su $RR$ se esiste finito il

$\int_{-infty}^{infty} (|f(x)|)^p dx$

giusto?

quindi devo scrivere il modulo della mia funzione, elevarlo alla p e trovare il valore della p ????

$ |(sinx)/(x+ie^x)| = (sin|x|)/|x+ie^x| = (sin|x|)/(x+ie^x)^2 = (sin|x|)^p/(x+ie^x)^(2p) $

fin qui è giusto? poi ???

Grazie

[gugo82]

L'esercizio ti chiede di stabilire se qualcuna delle tre quantità:
\[
\begin{split}
\| f\|_\infty &:= \sup_{x\in \mathbb{R}} \left| \frac{\sin x}{x +\imath\ e^x}\right|\\
\| f\|_1 &:= \int_{-\infty}^\infty \left| \frac{\sin x}{x +\imath\ e^x}\right|\ \text{d} x\\
\| f\|_2 &:= \int_{-\infty}^\infty \left| \frac{\sin x}{x +\imath\ e^x}\right|^2\ \text{d} x
\end{split}
\]
è finita, quindi il primo tentativo da fare è cercare di calcolare più o meno esplicitamente la quantità:
\[
\left| \frac{\sin x}{x +\imath\ e^x}\right|\; .
\]

[kika_17]

ok... non vedo molte opzioni, potrei scrivere il senx in forma polare e otterei

$ 1/2 |(e^(ix) - e^(-ix))/(x+ie^x)| $

poi???

[Camillo]

$|sinx|/sqrt(x^2+e^(2x))$.