Funzione in $L^2(\mathbb{R}^3)$?

[Mikcalrmat]

Salve a tutti...mi è venuto un dubbio
Sto lavorando con questa funzione $\frac{e^{i(\lambda+i\varepsilon)|x|}}{|x|}$ con $\lambda,\varepsilon>0$e devo verificarne l'appartenenza o meno) allo spazio $L^2(\mathbb{R}^3)$.
Per quanto riguarda la singolarità nell'origine, essa dovrebbe essere integrabile perchè l'esponente è $2$ che è minore della dimensione dello spazio.
All'infinito chi mi aiuta ad avere convergenza è il fattore $e^{-\varepsilon|x|}$ giusto? infatti usando il fatto che l'esponenziale lo posso minorare con ogni potenza dovrei ottenere il fattore di convergenza che mi serve.
Dico bene?
Grazie a chiunque volesse essermi dii aiuto.

[gugo82]

Tenendo presente che la funzione è radiale, integrando in coordinate polari hai:
\[
\begin{split}
\| f\|_2^2 &= \int_{\mathbb{R}^3} \frac{|e^{\imath (\lambda +\imath \varepsilon) |x|}|^2}{|x|^2}\ \text{d} x \\
&= \int_{\mathbb{R}^3} \frac{e^{-2 \varepsilon |x|}}{|x|^2}\ \text{d} x \\
&= 4\pi\ \int_0^\infty \frac{e^{-2 \varepsilon r}}{r^2}\ r^2\ \text{d} r \\
&= 4\pi\ \int_0^{+\infty} e^{-2 \varepsilon r}\ \text{d} r \\
&= -\frac{2\pi}{\varepsilon}\ e^{-2\varepsilon r}\ \Big|_0^{+\infty}\\
&= \frac{2\pi}{\varepsilon}\\
&< +\infty
\end{split}
\]
quindi...