Funzione in due variabili e punti stazionari
Ciao ragazzi,
mi chiedevo se potete darmi una mano con questo esercizio:
Sono dati la funzione $f(x,y) = e^(1+4x-3x^2-2y^2)$ e il dominio $K = {(x,y) : x^2+y^2<=9}$
1) classificare i punti stazionari di $f(x,y)$
2) rappresentare il dominio $K$ evidenziando gli eventuali punti stazionari di $f(x,y)$ che vi siano contenuti
3) Determinare il max e il min assoluto di f(x,y) sul dominio $K$
Allora secondo i miei calcoli (che spero siano corretti) il punto stazionario è $(2/3,0)$ e poiché il det della matrice Hessiana è positivo e la $f_x_x=-6$ negativa il punto è di max relativo.
Il dominio $K$ rappresenta (sempre se non mi sbaglio anche qua) la circonferenza con $r=3$ e quindi graficamente sono i punti interni alla circonferenza compreso il bordo.
il punto 3 non so proprio come fare....potreste aiutarmi??? Grazie
mi chiedevo se potete darmi una mano con questo esercizio:
Sono dati la funzione $f(x,y) = e^(1+4x-3x^2-2y^2)$ e il dominio $K = {(x,y) : x^2+y^2<=9}$
1) classificare i punti stazionari di $f(x,y)$
2) rappresentare il dominio $K$ evidenziando gli eventuali punti stazionari di $f(x,y)$ che vi siano contenuti
3) Determinare il max e il min assoluto di f(x,y) sul dominio $K$
Allora secondo i miei calcoli (che spero siano corretti) il punto stazionario è $(2/3,0)$ e poiché il det della matrice Hessiana è positivo e la $f_x_x=-6$ negativa il punto è di max relativo.
Il dominio $K$ rappresenta (sempre se non mi sbaglio anche qua) la circonferenza con $r=3$ e quindi graficamente sono i punti interni alla circonferenza compreso il bordo.
il punto 3 non so proprio come fare....potreste aiutarmi??? Grazie
Risposte
Non ho controllato i conti, ma concettualmente mi sembra corretto
Per il punto 3, devi trovare il valore $z$ massimo della superficie $f(x,y)$ tra i soli punti che si intersecano col cilindro che identifica il dominio (cilindro perchè è il cerchio esteso lungo $z$)
Quindi hai la funzione:
$z=f(x,y)$
ed il dominio che puoi esplicitare come:
$y=g(x)$
e tu devi trovare massimo e minimo della funzione in cui hai sostituito il vincolo del dominio:
$z=f(x,g(x))=h(x)$
cioè devi identificare con una funzione la curva data dall'intersezione della superficie (che è la tua funzione) e la supercifie che identifica il dominio.
Quindi in definitiva fai:
${(z=e^(1+4x-3x^2-2y^2)),(y=+-sqrt(9-x^2)):}$
che a causa del doppio segno della radice, darebbe 2 funzioni con il loro dominio in $x$ ma per fortuna c'è un $y^2$ che ci evita il segno:
$z=f(x,g(x))=h(x)=e^(1+4x-3x^2-2(9-x^2))=e^(4x-x^2-17)$
e di questo ti fai i minimi e massimi in $x$, ed una volta identificate le $x$ potrai ottenere le $y$ sostituendo sia nella equazione del dominio che nella funzione di partenza...
Per il punto 3, devi trovare il valore $z$ massimo della superficie $f(x,y)$ tra i soli punti che si intersecano col cilindro che identifica il dominio (cilindro perchè è il cerchio esteso lungo $z$)
Quindi hai la funzione:
$z=f(x,y)$
ed il dominio che puoi esplicitare come:
$y=g(x)$
e tu devi trovare massimo e minimo della funzione in cui hai sostituito il vincolo del dominio:
$z=f(x,g(x))=h(x)$
cioè devi identificare con una funzione la curva data dall'intersezione della superficie (che è la tua funzione) e la supercifie che identifica il dominio.
Quindi in definitiva fai:
${(z=e^(1+4x-3x^2-2y^2)),(y=+-sqrt(9-x^2)):}$
che a causa del doppio segno della radice, darebbe 2 funzioni con il loro dominio in $x$ ma per fortuna c'è un $y^2$ che ci evita il segno:
$z=f(x,g(x))=h(x)=e^(1+4x-3x^2-2(9-x^2))=e^(4x-x^2-17)$
e di questo ti fai i minimi e massimi in $x$, ed una volta identificate le $x$ potrai ottenere le $y$ sostituendo sia nella equazione del dominio che nella funzione di partenza...
grazie mille tutto chiaro!!!!
Ottimo, è stato un piacere...buon lavoro! 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo