Funzione in due variabili
Salve a tutti. Ho un po' di problemi con il seguente studio di funzione. Devo studiare la funzione $ f(x,y)= (1-p)/ p^a $ con $p = sqrt ( x^2+ y^2)$ e $a > 1$.
La funzione è definita su tutto $R^2$ tranne che nel punto $(0,0)$ e le curve di livello non dipendendo dall'angolo sono delle circonferenze. Quindi per trovare i punti critici mi basta studiare dove si annulla la derivata della funzione $f(p)= (1-p)/ p^a $ e ottengo se non ho sbagliato i calcoli :
$f(p)' = p^-a ( ( a-1) - ap^-1 ) =0 $
da cui ottengo che la funzione si annulla nel punto $(0,0)$ e sulla circonferenza di raggio $p= (a-1)/a$, che corrisponde ad una circonferenza di punti di minimo. E' giusto?
La funzione è definita su tutto $R^2$ tranne che nel punto $(0,0)$ e le curve di livello non dipendendo dall'angolo sono delle circonferenze. Quindi per trovare i punti critici mi basta studiare dove si annulla la derivata della funzione $f(p)= (1-p)/ p^a $ e ottengo se non ho sbagliato i calcoli :
$f(p)' = p^-a ( ( a-1) - ap^-1 ) =0 $
da cui ottengo che la funzione si annulla nel punto $(0,0)$ e sulla circonferenza di raggio $p= (a-1)/a$, che corrisponde ad una circonferenza di punti di minimo. E' giusto?
Risposte
Anche senza rifare i tuoi conti direi di sì.
Edit: a meno del punto in cui si annulla la derivata, che è $p=a/(a-1)$.
Edit: a meno del punto in cui si annulla la derivata, che è $p=a/(a-1)$.
Un altra cosa. L'esercizio va avanti e mi chiede di trovare gli estremi con il vincolo $x^2-y^2= 1$. Applicando il metodo dei moltiplicatori di lagrange mi vengono fuori un sacco di calcoli. Dovendo essere il gradiente della funzione $f(x,y) = (1-p)/p^a$ e il gradiente della funzione $g(x,y)= x^2-y^2 -1$ paralleli, i punti estremi sono i punti di tangenza tra la curva di livello di $f(x,y)$ che è una circonferenza e l'iperbole $x^2-y^2=1$ ?
Una volta che hai la forma radiale, ti basta calcolare massimo e minimo del raggio (distanza dall'origine) sul vincolo.
Infatti, sul vincolo $\rho$ assume tutti i valori in $[1, +\infty)$; vista la forma della tua funzione, i punti di minimo assoluto staranno nell'intersezione fra la circonferenza di raggio $\rho_0 = a/(a-1)$ e l'iperbole (notare che $\rho_0 > 1$), mentre i punti di massimo assoluto saranno $(\pm 1, 0)$, dove $\rho=1$ (infatti si ha $f(\rho) < 0$ per ogni $\rho>1$ mentre $f(1) = 0$).
Infatti, sul vincolo $\rho$ assume tutti i valori in $[1, +\infty)$; vista la forma della tua funzione, i punti di minimo assoluto staranno nell'intersezione fra la circonferenza di raggio $\rho_0 = a/(a-1)$ e l'iperbole (notare che $\rho_0 > 1$), mentre i punti di massimo assoluto saranno $(\pm 1, 0)$, dove $\rho=1$ (infatti si ha $f(\rho) < 0$ per ogni $\rho>1$ mentre $f(1) = 0$).
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