Funzione in due variabili

[telerino]

Salve ragazzi, per la domenica ci divertiamo un po' con le funzioni!
allora, la funzione è la seguente: $f(x,y)=x^3y+y^4-3x^2y$ il cui dominio è naturalmente $R^2$
calcolo subito le derivate parziali
$f_x(x,y)=3x^2y-6xy$
$f_y(x,y)=x^3+4y^3-3x^2$
impongo $3x^2y-6xy=0,x^3+4y^3-3x^2=0$ a sistema e trovo $P_1(0,0),P_2(2,1)$
le derivate parziali seconde per l'Hessiana sono:
$f_(x x)=6xy-6y$
$f_(xy)=f_(yx)=3x^2-6x$
$f_(yy)=12y^2$
e di conseguenza
$ H_(f(0,0))= | ( 0 , 0 ),( 0 , 0 ) | =0 $
$ H_(f(2,1))= | ( 6 , 0 ),( 0 , 12 ) | =72 $
quindi $P_2$ è un punto di minimo relativo
per $P_1$ con l'hessiana non possiamo dire nulla, allora io ho ragionato così.
Ho studiato il segno della funzione $x^3y+y^4-3x^2y>=0$ e qui partono i primi dubbi:
è lecito cancellare $x^2$ (sempre positivo) da $x^2*(xy-3y)>=-y^4$
se ciò è lecito mi risulta che $f(x,y)>=0$ se
$y>=0$
$y>=root(3)(3-x) $
il punto $P_1$ si trova nella regione negativa...quindi? è un altro punto di minimo? wolfram alpha mi indica come minimo relativo solo il punto $P_2$
ringrazio chiunque voglia darmi qualche indicazione, buona serata.

[gio73]

mi sembra che anche $P_3(3;0)$ annulli il gradiente, mi sbaglio?

[telerino]

si anche x=3 annulla il gradiente, errore mio.
Dalla matrice hessiana corrispondente risulta essere un punto di sella, ma per il punto (0,0) le conclusioni che ho fatto sono giuste?

[stormy1]

confesso che non mi sono concentrato più di tanto sul tuo ragionamento perchè a naso mi sembra sbagliato
quello che io osservo è che sulla retta $y=x$ la funzione $f(x,y)$ coincide con la funzione $g(x)=x^3(2x-3)$
quest'ultima,in ogni intorno di $0$ assume valori di segno opposto
quindi,per me l'origine è un punto di sella

[telerino]

in realtà facendo il grafico dei segni delle due funzioni trovate con il mio ragionamento si vede che nell'intorno di (0,0) la funzione assume valori positivi da una parte, negativi dall'altra quindi (0,0) è di sella. il metodo delle rette o delle curve in generale cerco di non usarlo perché funziona solo se il punto è di sella, altrimenti non mi dice nulla grazie lo stesso.