Funzione implicitamente definita in 3 variabili

[manuela.ciolli]

Ciao ragazzi, mi sono imbattuta in un esercizio sul teorema di Dini e sono arrivata ad un punto in cui non riesco più ad andare avanti.
Data una funzione di $ R^3 $ in R definita da $ f(x,y,z)=sen(y+x)+e^(x+z)-x^2-y^2-1 $ :
1) Provare che l'equazione f(x,y,z)=0 definisce implicitamente intorno a (0,0,0) una funzione g(x,y) di classe C∞
2) Determinare la matrice Hessiana per g in (0,0).
Io mi sono bloccata sul punto 2) perchè non riesco a calcolare le derivate seconde di g.

[spugna2]

Per definizione, $h(x,y)=f(x,y,g(x,y))$ è la funzione identicamente nulla, per cui puoi scriverti le derivate parziali seconde seconde dell'espressione al secondo membro e porle uguali a $0$, e dovresti trovare delle equazioni per le derivate parziali di $g$

[manuela.ciolli]

Sono riuscita a calcolare solamente le derivate seconde gxx e gyy ed ottengo che $ f× × (0,0,0) + fzx(0,0,0)gx(0,0)+ fxz(0,0,0)gx(0,0)+fzz(0,0,0)(gx(0,0))^2+ fz(0,0,0)g× × (0,0)=0 $ quindi esplicitando gxx e sostituendo tutti i valori già calcolati prima ricavo il valore. Lo stesso per gyy per cui ottengo $ fyy(0,0,0) + fzy(0,0,0)gy(0,0)+ fyz(0,0,0)gy(0,0)+fzz(0,0,0)(gy(0,0))^2+ fz(0,0,0)gyy(0,0)=0 $

[spugna2]

Che poi $g(x,y)=-x+ln(x^2+y^2+1-sin(x+y))$

Comunque sì, era venuto così anche a me. Mi stavo chiedendo se in generale ci fossero strade con meno conti, però boh...

[manuela.ciolli]

Potresti aiutarmi nel calcolo di gxy? Non riesco a ricavare la formula

[spugna2]

Ho $f(x,y,g(x,y))$, derivo rispetto a $x$:

$f_x (x,y,g(x,y))+f_z (x,y,g(x,y))*g_x(x,y)$

Derivo rispetto a $y$ in $0$:

$f_{xy}(0)+f_{xz}(0)*g_y(0)+[f_{zy}(0)+f_{zz}(0)*g_y(0)]*g_x(0)+f_z(0)*g_{xy}(0)$

[manuela.ciolli]

Dovrebbe essere $ -3/8 $ se non ho sbagliato i conti
Grazie mille

[spugna2]

"spugna":Che poi $g(x,y)=-x+ln(x^2+y^2+1-sin(x+y))$

Se te le calcoli da qui vengono diverse...