Funzione implicita e massimi e minimi
salve, sto trovando difficoltà nello studio della funzione implicita associata a $f(x,y)=xy^2-x^2y-ln(x)$
in particolare per trovare i minimi e massimi della funzione implicita $y(x)$ devo risolvere il sistema
$\{(y^2-2xy-1/x =0),(xy^2-x^2y-ln(x)=0):}$
ma non riesco a risolverlo! È fattibile oppure bisogna adottare una strategia di risoluzione diversa?
qualcuno saprebbe aiutarmi?
E sbaglio io e c'è qualche altro modo per determinare i minimi e massimi di una funzione implicita?
Grazie
in particolare per trovare i minimi e massimi della funzione implicita $y(x)$ devo risolvere il sistema
$\{(y^2-2xy-1/x =0),(xy^2-x^2y-ln(x)=0):}$
ma non riesco a risolverlo! È fattibile oppure bisogna adottare una strategia di risoluzione diversa?
qualcuno saprebbe aiutarmi?
E sbaglio io e c'è qualche altro modo per determinare i minimi e massimi di una funzione implicita?
Grazie
Risposte
"Aletzunny":
in particolare per trovare i minimi e massimi della funzione implicita $y(x)$ devo risolvere il sistema
$\{(y^2-2xy-1/x =0),(xy^2-x^2y-ln(x)=0):}$
Per curiosità, ma da dove salta fuori questo sistema?
@bok
I punti critici di una qualsiasi funzione implicita soddisfano il sistema seguente:
Quindi in genere i punti critici(di una funzione definita implicitamente rispetto a $x$) li puoi trovare come
Però si deve aggiungere anche $f_y(x,y)ne0$ così sai per certo che puoi definire una funzione implicitamente(risp $x$) che ha quel punto critico.
@ale
La prima e la seconda equazione, in $y$, sono polinomi di secondo grado.
I punti critici di una qualsiasi funzione implicita soddisfano il sistema seguente:
${(f(x, y(x)) =0),(y'(x) = - (f_x(x, y(x))) /( f_y(x, y(x))) =0) :}$
Quindi in genere i punti critici(di una funzione definita implicitamente rispetto a $x$) li puoi trovare come
${(f(x, y) =0),(f_x(x,y)=0):}$
Però si deve aggiungere anche $f_y(x,y)ne0$ così sai per certo che puoi definire una funzione implicitamente(risp $x$) che ha quel punto critico.
@ale
La prima e la seconda equazione, in $y$, sono polinomi di secondo grado.
@Anto
Ok, infatti ho lasciato andare la penna e risolto (improvvisando) solo per la seconda equazione e mi viene fuori un minimo a $(1/2,2)$ (che non soddisfa il sistema ma solo la prima equazione).
Quello che non mi spiego (e non riesco a visualizzare il perchè) perchè debba valere anche il vincolo $f(x,y(x))=0$. A cosa serve? Qual è il senso geometrico?
Perchè non può assumere un qualsiasi valore, ad esempio una costante?
P.S. @Ale ricorda che $x>0$ e $x!=2y$
P.S.2 @Anto Immagino intendessi scrivere $-(f_x(x,y))/(f_y(x,y))$ senza la dipendenza in questo caso.
O altrimenti $(d[f(x,y(x))])/dx=0$
Ok, infatti ho lasciato andare la penna e risolto (improvvisando) solo per la seconda equazione e mi viene fuori un minimo a $(1/2,2)$ (che non soddisfa il sistema ma solo la prima equazione).
Quello che non mi spiego (e non riesco a visualizzare il perchè) perchè debba valere anche il vincolo $f(x,y(x))=0$. A cosa serve? Qual è il senso geometrico?
Perchè non può assumere un qualsiasi valore, ad esempio una costante?
P.S. @Ale ricorda che $x>0$ e $x!=2y$
P.S.2 @Anto Immagino intendessi scrivere $-(f_x(x,y))/(f_y(x,y))$ senza la dipendenza in questo caso.
O altrimenti $(d[f(x,y(x))])/dx=0$
metto sotto spoiler, magari all'utente non interessa
"anto_zoolander":
@bok
I punti critici di una qualsiasi funzione implicita soddisfano il sistema seguente:
${(f(x, y(x)) =0),(y'(x) = - (f_x(x, y(x))) /( f_y(x, y(x))) =0) :}$
Quindi in genere i punti critici(di una funzione definita implicitamente rispetto a $x$) li puoi trovare come
${(f(x, y) =0),(f_x(x,y)=0):}$
Però si deve aggiungere anche $f_y(x,y)ne0$ così sai per certo che puoi definire una funzione implicitamente(risp $x$) che ha quel punto critico.
@ale
La prima e la seconda equazione, in $y$, sono polinomi di secondo grado.
perdonami ma mi sono perso lo stesso: quindi dovrei risolvere una delle due come se fosse un polinomio $ay^2+by+c=0$, trovare $y$ in funzione di $x$ e sostituirlo nella seconda equazione del sistema?
ho capito correttamente?
Puoi anche esprimere entrambe le equazioni rispetto a $y$ e poi uguagliarle, però si il senso è questo.
Ho provato a fare i conti ma veniva bruttino, anche perché non trovi una unica soluzione.
Sicuro che non ci fossero ipotesi in più? Tipo il passaggio per un particolare punto
Ho provato a fare i conti ma veniva bruttino, anche perché non trovi una unica soluzione.
Sicuro che non ci fossero ipotesi in più? Tipo il passaggio per un particolare punto
no non c'è nessuno altra condizione aggiuntiva...infatti ho provato con il metodo sopra citato ma non riuscivo ad uscirne con i conti
dovrei risolvere
$x+-sqrt(x^2+1/x)=(x/2)*(1+-sqrt(1+4ln(x)/x^3))$
$x+-sqrt(x^2+1/x)=(x/2)*(1+-sqrt(1+4ln(x)/x^3))$
@Anto Chiarissimo, grazie...anche se francamente non vedo perchè considerare solo $z=0$ se non per superfici particolarmente regolari per cui la funzione implicita è sempre la stessa ad ogni livello a meno di una costante.
Per esempio, nel nostro problema per $z=3/2-ln(2)$ si ha un'unica soluzione (elegante) $(1/2,2)$ ed è un minimo.
Non tutte le superfici sono "regolari" e questa di certo è particolarmente tacchiente se si cercano i minimi di $y(x)$ per $z=0$ (o anche altri valori).
In effetti, considerando che il dominio impone che $x>0$, troverei più logico cercare una $x(y)$ (così da evitare funzioni con due rami come accade adesso).
Facendo due semplici conti mi viene che per $y!=0$ e $y!=2x$ esiste un'unica soluzione (seppur bruttina) al sistema (già semplificato) $ { ( x=2y ),( ln(2y)=-2y^3 ):} $
Per esempio, nel nostro problema per $z=3/2-ln(2)$ si ha un'unica soluzione (elegante) $(1/2,2)$ ed è un minimo.
Non tutte le superfici sono "regolari" e questa di certo è particolarmente tacchiente se si cercano i minimi di $y(x)$ per $z=0$ (o anche altri valori).
In effetti, considerando che il dominio impone che $x>0$, troverei più logico cercare una $x(y)$ (così da evitare funzioni con due rami come accade adesso).
Facendo due semplici conti mi viene che per $y!=0$ e $y!=2x$ esiste un'unica soluzione (seppur bruttina) al sistema (già semplificato) $ { ( x=2y ),( ln(2y)=-2y^3 ):} $
@ bokonon
In generale, ovviamente, si possono benissimo considerare, di una funzione, curve di livello del tipo $f(x,y)=c, c !=0$, ma qui siamo nel contesto del teorema delle funzioni implicite e bisogna considerare l'equazione $f(x,y)=0$, direi per definizione.
Una funzione implicita è una funzione definita da una equazione del tipo $f(x_1,x_2,...,x_n)=0$, spesso detta 'equazione implicita'. Il teorema dà delle condizioni per cui l'equazione implicita definisce una funzione implicita.
Nel caso di funzione di due variabili, come il nostro, il teorema dice, parlando informalmente, che se $f$ è una funzione $C^1$ l'equazione $f(x,y)=0$ può essere risolta rispetto a $y$ in termini di $x$ in un intorno di ogni punto in cui sia $ (partial f)/(partial y) !=0$ (idem, con condizioni analoghe, può essere risolta rispetto $x$).
Quindi tu puoi benissimo considerare $f(x,y)=c, c!=0$, ma stai considerando un altro problema, ossia la funzione implicita definita da $g(x,y) -= f(x,y)-c=0$.
In generale, ovviamente, si possono benissimo considerare, di una funzione, curve di livello del tipo $f(x,y)=c, c !=0$, ma qui siamo nel contesto del teorema delle funzioni implicite e bisogna considerare l'equazione $f(x,y)=0$, direi per definizione.
Una funzione implicita è una funzione definita da una equazione del tipo $f(x_1,x_2,...,x_n)=0$, spesso detta 'equazione implicita'. Il teorema dà delle condizioni per cui l'equazione implicita definisce una funzione implicita.
Nel caso di funzione di due variabili, come il nostro, il teorema dice, parlando informalmente, che se $f$ è una funzione $C^1$ l'equazione $f(x,y)=0$ può essere risolta rispetto a $y$ in termini di $x$ in un intorno di ogni punto in cui sia $ (partial f)/(partial y) !=0$ (idem, con condizioni analoghe, può essere risolta rispetto $x$).
Quindi tu puoi benissimo considerare $f(x,y)=c, c!=0$, ma stai considerando un altro problema, ossia la funzione implicita definita da $g(x,y) -= f(x,y)-c=0$.
@gabriella127
Grazie del post.
Comunque, non è che non abbia messo a fuoco il punto (anche Anto è stato chiarissimo).
Ho solo proposto due alternative all'esercizio originale...perchè obiettivamente conduce a soluzioni davvero bruttine. Mi capita spesso di prendere un esercizio o un problema ed "estenderlo" fin dove possibile: è un buon modo sia per "riciclarli" che per esplorare.
Grazie del post.
Comunque, non è che non abbia messo a fuoco il punto (anche Anto è stato chiarissimo).
Ho solo proposto due alternative all'esercizio originale...perchè obiettivamente conduce a soluzioni davvero bruttine. Mi capita spesso di prendere un esercizio o un problema ed "estenderlo" fin dove possibile: è un buon modo sia per "riciclarli" che per esplorare.
Certo Bokonon. Per quanto riguarda i calcoli, anche a me viene una cosa brutta e pesante e non riesco a trovare le soluzioni. Caso mai ne veniste a capo e vi andasse di postarli, sono curiosa.
@ Aletzunny: Ma dove l’hai preso l’esercizio?
Il testo esatto dell’esercizio qual è?
Il testo esatto dell’esercizio qual è?
Il testo è preso da un tema d'esame e dice di dimostrare che esiste una funzione $y(x)$ t.c $f(x,y(x))=0$ e poi di disegnarne il grafico approssimativo mostrando se esistono punti estremanti nel grafico $y(x)$
@Aletzunny
Gugo ti ha chiesto di riportare esattamente l'esercizio e tu ne riporti una versione ancor più sintetica
Gugo ti ha chiesto di riportare esattamente l'esercizio e tu ne riporti una versione ancor più sintetica
Questo è il testo originale:
Si studi il luogo degli zeri della funzione $f(x,y)=xy^2-x^2y-ln(x)$
a) si dimostri che esiste $y(x):[1;+infty]->(-infty;0)$ tale che
$f(x,y(x)=0$
b)si disegni il grafico approssimativo di $y(x)$ (riportare eventuali punti di max, min, flesso) e si calcoli $lim_(x->+infty) y(x)$
Si studi il luogo degli zeri della funzione $f(x,y)=xy^2-x^2y-ln(x)$
a) si dimostri che esiste $y(x):[1;+infty]->(-infty;0)$ tale che
$f(x,y(x)=0$
b)si disegni il grafico approssimativo di $y(x)$ (riportare eventuali punti di max, min, flesso) e si calcoli $lim_(x->+infty) y(x)$
Questo esercizio lo so fare anch'io, quello che avevi proposto all'inizio no.
Devi studiare gli zeri della funzione, non la funzione. quindi devi studiare
$ xy^2-x^2y-ln(x) =0$ che non è un grafico nello spazio, ma un grafico nel piano.
Come fare per studiarlo? E qui la domanda a) ti dà un suggerimento, esplicita la y in funzione di x, per il dominio, siccome non è calcolabile agevolmente, perché non è possibile utilizzare le tecniche algebriche ordinarie, fai le considerazioni opportune, ma poi studia la funzione per $x>=1$.
Nel testo credo che tu abbia fatto un po' di casino con le parentesi, dovrebbe essere
$ y(x):[1;+infty)->(-infty;0] $
altrimenti non si può dimostrare che la funzione esiste, in quanto $y(1)=0$
Per il resto lascio campo libero a chi è più introdotto, il mio metodo di risoluzione è abbastanza "artigianale".
Devi studiare gli zeri della funzione, non la funzione. quindi devi studiare
$ xy^2-x^2y-ln(x) =0$ che non è un grafico nello spazio, ma un grafico nel piano.
Come fare per studiarlo? E qui la domanda a) ti dà un suggerimento, esplicita la y in funzione di x, per il dominio, siccome non è calcolabile agevolmente, perché non è possibile utilizzare le tecniche algebriche ordinarie, fai le considerazioni opportune, ma poi studia la funzione per $x>=1$.
Nel testo credo che tu abbia fatto un po' di casino con le parentesi, dovrebbe essere
$ y(x):[1;+infty)->(-infty;0] $
altrimenti non si può dimostrare che la funzione esiste, in quanto $y(1)=0$
Per il resto lascio campo libero a chi è più introdotto, il mio metodo di risoluzione è abbastanza "artigianale".
"@melia":
Questo esercizio lo so fare anch'io, quello che avevi proposto all'inizio no.
Devi studiare gli zeri della funzione, non la funzione. quindi devi studiare
$ xy^2-x^2y-ln(x) =0$ che non è un grafico nello spazio, ma un grafico nel piano.
Come fare per studiarlo? E qui la domanda a) ti dà un suggerimento, esplicita la y in funzione di x, per il dominio, siccome non è calcolabile agevolmente, perché non è possibile utilizzare le tecniche algebriche ordinarie, fai le considerazioni opportune, ma poi studia la funzione per $x>=1$.
Nel testo credo che tu abbia fatto un po' di casino con le parentesi, dovrebbe essere
$ y(x):[1;+infty)->(-infty;0] $
altrimenti non si può dimostrare che la funzione esiste, in quanto $y(1)=0$
Per il resto lascio campo libero a chi è più introdotto, il mio metodo di risoluzione è abbastanza "artigianale".
Ciao Melia, solitamente per "si studi gli zeri delle funzione" il mio professore intende lo studio delle funzioni implicita $y(x)$ con il conseguente grafico: quindi come determino i $min$ e $max$ di $y(x)$ se non con il sistema precedente? Non ho capito questo
metto in spoiler perchè non mi ritrovo con la tesi dell'esercizio(ma sono abbastanza sicuro che sia sbagliata)
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