Funzione implicita & Eq.differenziale
Buongiorno, ho un esercizio in cui mi viene richiesto di verificare se un'equazione ($x^2+y = y^2-x$) definisce implicitamente in un intorno di un punto una funzione, la quale è soluzione di un problema di cauchy e vuole sapere qual è il problema (di cauchy).
ora, avevo intenzione di fare i seguenti passi:
1)verificare dove l'equazione si annulla, e verificare che ivi la derivata rispetto a y NON si annulli, così da poter applicare il dini locale;
2)di conseguenza, esiste un'unica funzione f definita nell'intorno dell'ascissa del punto, con f di classe $C^(oo)$ nel suddetto intorno, tale che
a) $y_0=f(x_0)$ (il punto ($x_0,y_0$) è l'insieme di livello)
b) $F(x_0,y_0)=0$ (la F è l'equazione suddetta, scritta così: $y = y^2-x^2-x$ . É corretto?)
3)potrò quindi affermare che: $f'=-((F_x(x_0,y_0))/(F_y(x_0,y_0)))
4)a questo punto, non avendo comunque fatto ancora i calcoli, probabilmente verrà fuori un'equazione differenziale (magari a variabili separabili), che dovrei poter risolvere facilmente.
Come faccio a trovare, però il problema di cauchy suddetto? Devo svolgere l'equazione differenziale e sostituirvi il punto ($x_0,y_0$)?
ora, avevo intenzione di fare i seguenti passi:
1)verificare dove l'equazione si annulla, e verificare che ivi la derivata rispetto a y NON si annulli, così da poter applicare il dini locale;
2)di conseguenza, esiste un'unica funzione f definita nell'intorno dell'ascissa del punto, con f di classe $C^(oo)$ nel suddetto intorno, tale che
a) $y_0=f(x_0)$ (il punto ($x_0,y_0$) è l'insieme di livello)
b) $F(x_0,y_0)=0$ (la F è l'equazione suddetta, scritta così: $y = y^2-x^2-x$ . É corretto?)
3)potrò quindi affermare che: $f'=-((F_x(x_0,y_0))/(F_y(x_0,y_0)))
4)a questo punto, non avendo comunque fatto ancora i calcoli, probabilmente verrà fuori un'equazione differenziale (magari a variabili separabili), che dovrei poter risolvere facilmente.
Come faccio a trovare, però il problema di cauchy suddetto? Devo svolgere l'equazione differenziale e sostituirvi il punto ($x_0,y_0$)?
Risposte
E' sostanzialmente corretto, a parte alcune precisazioni. Anzitutto non è necessario applicare Dini esplicitando $y$, potrebbe anche essere che nel punto scelto si possa esplicitare solo $x$. Detto ciò è grosso modo come dici: si sceglie il punto $(x_0,y_0)$ attorno al quale esplicitare, e si procede come hai detto. Attenzione che la 3) vale in tutto l'intorno in cui si esplicita $y$ (in questo caso): $f'(x)=-(F_x(x,f(x)))/(F_y(x,f(x)))$.
"Luca.Lussardi":ok, grazie mille, terrò conto delle tue precisazioni
E' sostanzialmente corretto, a parte alcune precisazioni. Anzitutto non è necessario applicare Dini esplicitando $y$, potrebbe anche essere che nel punto scelto si possa esplicitare solo $x$. Detto ciò è grosso modo come dici: si sceglie il punto $(x_0,y_0)$ attorno al quale esplicitare, e si procede come hai detto. Attenzione che la 3) vale in tutto l'intorno in cui si esplicita $y$ (in questo caso): $f'(x)=-(F_x(x,f(x)))/(F_y(x,f(x)))$.
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