Funzione implicita 3 variabili
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Esercitandomi per il prossimo esame di Analisi II mi sono imbattuto in quest'esercizio:
Provare che l'equazione: $ f(x,y,z)=ze^(xy)-cos(x+yz)+xy-2y=0 $ definisce implicitamente $ z=g(x,y) $ nell'intorno del punto $ (0,0,1) $ . Calcolare inoltre la derivata prima e seconda di $ g(x,y) $ nell'origine.
Allora io il teorema di Dini l'ho sempre svolto per 2 variabili e per tre è la prima volta che mi capita. Il mio dubbio è, dovendo arrivare allo sviluppo di Mc Laurin, visto che mi chiede $ g(x,y) $ nell'origine come faccio con le derivate? Cioè ho 6 derivate da fare? Come dovrei impostare e svolgere l'esercizio con le 3 variabili? Grazie mille in anticipo
Esercitandomi per il prossimo esame di Analisi II mi sono imbattuto in quest'esercizio:Provare che l'equazione: $ f(x,y,z)=ze^(xy)-cos(x+yz)+xy-2y=0 $ definisce implicitamente $ z=g(x,y) $ nell'intorno del punto $ (0,0,1) $ . Calcolare inoltre la derivata prima e seconda di $ g(x,y) $ nell'origine.
Allora io il teorema di Dini l'ho sempre svolto per 2 variabili e per tre è la prima volta che mi capita. Il mio dubbio è, dovendo arrivare allo sviluppo di Mc Laurin, visto che mi chiede $ g(x,y) $ nell'origine come faccio con le derivate? Cioè ho 6 derivate da fare? Come dovrei impostare e svolgere l'esercizio con le 3 variabili? Grazie mille in anticipo
Risposte
Davvero nessuno che riesce nemmeno a pensare a come impostarlo quest'esercizio? ;(
Io ti so rispondere (spero 
sto preparando Analisi II anche io...), il problema è che su questo forum scrivo poco quindi non so come si scrivono le formule, vedrò di arrangiarmi con il testo normale...
Il teorema di Dini nel caso di 3 variabili afferma che se:
1) F(x,y,z) è una funzione di classe almeno C1 nel suo dominio
2) F(A)=0 per un opportuno punto A=(x0,y0,z0) di R^3
3) Fz(A)≠0
allora la superficie di livello F=0 definisce implicitamente una funzione z=g(x,y) in un intorno di A, tale che g(x0,y0)=z0.
Nel tuo caso, A=(0,0,1), che si proietta nel piano (x,y) nel punto O(0,0), l'origine.
Verifichiamo le ipotesi:
1) f è di classe C infinito su R^3
2) f(A) = f(0,0,1) = 1−cos(0)+0 = 0
3) fz = e^xy + ysen(x+yz) che in A vale 1≠0
Quindi vale il teorema di Dini in un intorno di A, e inoltre g(0,0)=1.
Per trovare le derivate prima e seconda di g puoi procedere così:
tu adesso sai che la z nell'espressione della f è in realtà una funzione delle altre due variabili, per cui la puoi scrivere come z(x,y).
La f riscritta così diventa:
z(x,y)e^xy − cos(x+yz(x,y)) + xy − 2y.
Inoltre sai che g è definita da f=0; di conseguenza, puoi derivare entrambi i membri dell'equazione f=0 prima rispetto a x e poi rispetto a y, ricordando che la z=z(x,y) avrà delle derivate parziali, perché è una funzione di due variabili! Bisogna quindi fare un sacco di calcoli, purtroppo, e io in questo passaggio faccio sempre molti errori di distrazione...
Ad esempio, per la x avrai:
(ci provo con il codice)
$ z_x(x,y)e^{xy} + z(x,y)ye^{xy}+(1+yz_x(x,y))sen(x+yz(x,y))+y = 0 $
a questo punto puoi sostituire le coordinate di A in questa espressione e ricavare la $ z_x $ :
$ z_x(x,y) + 0 +(1+0)sen(0)+0 = 0 $
quindi $ z_x = 0 $ ...se non ho sbagliato i calcoli!
Per trovare $ z_y(x,y) $ usi lo stesso procedimento, derivando f=0 rispetto a y.
Per trovare le derivate seconde, devi derivare le derivate prime ciascuna rispetto a x e rispetto a y (chiaramente per trovare $ z_xy $ ti basterà farlo una volta sola, perché per il teorema di Schwarz le due derivate miste sono uguali).
Quindi per trovare $ z_{x\x}(x,y) $ devi derivare $ z_x $ ancora rispetto a x
per trovare $ z_{xy}(x,y) = z_{yx}(x,y) $ devi derivare $ z_x(x,y) $ rispetto a y
per trovare $ z_{yy}(x,y) $ devi derivare $ z_y(x,y) $ ancora rispetto a y.
Per trovare quanto valgono queste derivate seconde in A, devi sostituire le coordinate del punto A e il valore delle derivate prime che hai trovato al punto precedente.
Non so se esista un metodo più rapido per calcolare tutte le derivate, il nostro professore ci fa usare questo...
Spero di esserti stato d'aiuto!
sto preparando Analisi II anche io...), il problema è che su questo forum scrivo poco quindi non so come si scrivono le formule, vedrò di arrangiarmi con il testo normale...Il teorema di Dini nel caso di 3 variabili afferma che se:
1) F(x,y,z) è una funzione di classe almeno C1 nel suo dominio
2) F(A)=0 per un opportuno punto A=(x0,y0,z0) di R^3
3) Fz(A)≠0
allora la superficie di livello F=0 definisce implicitamente una funzione z=g(x,y) in un intorno di A, tale che g(x0,y0)=z0.
Nel tuo caso, A=(0,0,1), che si proietta nel piano (x,y) nel punto O(0,0), l'origine.
Verifichiamo le ipotesi:
1) f è di classe C infinito su R^3
2) f(A) = f(0,0,1) = 1−cos(0)+0 = 0
3) fz = e^xy + ysen(x+yz) che in A vale 1≠0
Quindi vale il teorema di Dini in un intorno di A, e inoltre g(0,0)=1.
Per trovare le derivate prima e seconda di g puoi procedere così:
tu adesso sai che la z nell'espressione della f è in realtà una funzione delle altre due variabili, per cui la puoi scrivere come z(x,y).
La f riscritta così diventa:
z(x,y)e^xy − cos(x+yz(x,y)) + xy − 2y.
Inoltre sai che g è definita da f=0; di conseguenza, puoi derivare entrambi i membri dell'equazione f=0 prima rispetto a x e poi rispetto a y, ricordando che la z=z(x,y) avrà delle derivate parziali, perché è una funzione di due variabili! Bisogna quindi fare un sacco di calcoli, purtroppo, e io in questo passaggio faccio sempre molti errori di distrazione...
Ad esempio, per la x avrai:
(ci provo con il codice
)$ z_x(x,y)e^{xy} + z(x,y)ye^{xy}+(1+yz_x(x,y))sen(x+yz(x,y))+y = 0 $
a questo punto puoi sostituire le coordinate di A in questa espressione e ricavare la $ z_x $ :
$ z_x(x,y) + 0 +(1+0)sen(0)+0 = 0 $
quindi $ z_x = 0 $ ...se non ho sbagliato i calcoli!
Per trovare $ z_y(x,y) $ usi lo stesso procedimento, derivando f=0 rispetto a y.
Per trovare le derivate seconde, devi derivare le derivate prime ciascuna rispetto a x e rispetto a y (chiaramente per trovare $ z_xy $ ti basterà farlo una volta sola, perché per il teorema di Schwarz le due derivate miste sono uguali).
Quindi per trovare $ z_{x\x}(x,y) $ devi derivare $ z_x $ ancora rispetto a x
per trovare $ z_{xy}(x,y) = z_{yx}(x,y) $ devi derivare $ z_x(x,y) $ rispetto a y
per trovare $ z_{yy}(x,y) $ devi derivare $ z_y(x,y) $ ancora rispetto a y.
Per trovare quanto valgono queste derivate seconde in A, devi sostituire le coordinate del punto A e il valore delle derivate prime che hai trovato al punto precedente.
Non so se esista un metodo più rapido per calcolare tutte le derivate, il nostro professore ci fa usare questo...
Spero di esserti stato d'aiuto!
Grazie mi sei stato il utilissimo! Il problema è che essendo sbadato io ho scritto $ f(x,y,z)=ze^(xy)-cos(x+yz)+xy-2y=0 $ invece di $ f(x,y,z)=ze^(xy)-cos(x+yz)+xz-2y=0 $ Cosa cambia in questo caso? E poi tu con fz e g(0,0) intenderesti la stessa funzione? Cioè $ f(x,y,z)=ze^(xy)-cos(x+yz)+xz=0 $?
"Primavera":
Grazie mi sei stato il utilissimo! Il problema è che essendo sbadato io ho scritto $ f(x,y,z)=ze^(xy)-cos(x+yz)+xy-2y=0 $ invece di $ f(x,y,z)=ze^(xy)-cos(x+yz)+xz-2y=0 $ Cosa cambia in questo caso? E poi tu con fz e g(0,0) intenderesti la stessa funzione? Cioè $ f(x,y,z)=ze^(xy)-cos(x+yz)+xz=0 $?
Il procedimento resta lo stesso, cambierà nella forma qualche derivata!
Con $f_z$ intendo la funzione di partenza $f(x,y,z)$ derivata rispetto a z: $f_z = e^{xy} + ysen(x+yz)$
Con g(0,0) invece intendo la funzione $z=z(x,y)=g(x,y)$ (sono i tre modi in cui l'ho scritta nel messaggio precedente... è la stessa funzione però) calcolata nel punto (0,0), che per il teorema di Dini vale quanto la quota del punto A, cioè 1.
Il fatto che in questo caso $f_z(A)=1$ sia uguale a $g(0,0)=1$ credo che sia una coincidenza... e chiedo conferma agli altri utenti!
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