Funzione Implicita
Buongiorno, avrei bisogno di qualche consiglio sulla risoluzione degli esercizi sulle funzioni implicite di Analisi II.
La funzione $\f : RR^2 rightarrow RR$ data da $\f(x,y) = 2x^4y - e^(3x+y)$. L'equazione $\f(x,y) = 0$ definisce implicitamente una funzione $\varphi : RR "\" {0} rightarrow RR$.
Come al solito sono proposte due affermazioni che vanno dimostrate vere o false.
1) per ogni $\x in RR "\" {0}, varphi(x) < 0$
2) $\x = 0$ è un asintoto verticale per $\varphi$
Risoluzione:
Il primo punto l'ho risolto abbastanza velocemente andando a studiare da vicino l'equazione $\f(x,y) = 0$, constatando immediatamente da $\2x^4y = e^(3x+y)$, che deve essere necessariamente $\y > 0$. Già a questo punto, essendo $\y = varphi(x)$ la funzione implicita ho scoperto che la prima affermazione è falsa.
Riscrivendola invece come: $\(2x^4)/e^(3x) = e^y/y$ e sapendo che $\y > 0$ ottengo che $\x < 0$. Cosa che mi fa comprendere meglio dove si trovi la funzione implicita nel piano cartesiano.
A questo punto devo verificare la seconda affermazione. Inizialmente ho applicato il Teorema di Dini, o della funzione implicita, in modo da trovare la derivata prima di $\varphi(x)$ e quindi il coefficiente angolare della funzione in un determinato punto. Qui tuttavia mi scontro con il primo dubbio! La funzione $\varphi(x)$ non è definita in $\0$ quindi ha senso applicare il teorema in $\x = 0$ ? Anche se fosse solo come "limite"?
Detto questo ho cercato allora un punto da cui partire e nel quale applicare proprio il teorema di Dini. Quindi ho preso $\(2x^4)/e^(3x) = e^y/y$ e, posto $\y = 1$ , ho scoperto che $\(2x^4)/e^(3x) = e$.
Applicando Dini ottengo: $\dot varphi(x) = - (8x^3y - 3e^(3x+y))/(2x^4 - e^(3x+y))$ e, ponendo $\y = 1$, modifico opportunamente la derivata prima di $\varphi(x)$ per ottenere il rapporto pari ad $\e$ sopra scritto.
Dopo qualche conto ottengo: $\dot varphi(x) = ((4e)/x -3e)/(e-e)$ che per $\x rightarrow 0$ vale $\+oo$.
Nonostante questo il procedimento mi sembra sbagliato e sicuramente poco consono alla risoluzione di un esercizio di questo tipo (intendo il secondo punto). La soluzione dice che la prima affermazione è falsa e la seconda è invece vera. Grazie in anticipo a chiunque risponderà.
La funzione $\f : RR^2 rightarrow RR$ data da $\f(x,y) = 2x^4y - e^(3x+y)$. L'equazione $\f(x,y) = 0$ definisce implicitamente una funzione $\varphi : RR "\" {0} rightarrow RR$.
Come al solito sono proposte due affermazioni che vanno dimostrate vere o false.
1) per ogni $\x in RR "\" {0}, varphi(x) < 0$
2) $\x = 0$ è un asintoto verticale per $\varphi$
Risoluzione:
Il primo punto l'ho risolto abbastanza velocemente andando a studiare da vicino l'equazione $\f(x,y) = 0$, constatando immediatamente da $\2x^4y = e^(3x+y)$, che deve essere necessariamente $\y > 0$. Già a questo punto, essendo $\y = varphi(x)$ la funzione implicita ho scoperto che la prima affermazione è falsa.
Riscrivendola invece come: $\(2x^4)/e^(3x) = e^y/y$ e sapendo che $\y > 0$ ottengo che $\x < 0$. Cosa che mi fa comprendere meglio dove si trovi la funzione implicita nel piano cartesiano.
A questo punto devo verificare la seconda affermazione. Inizialmente ho applicato il Teorema di Dini, o della funzione implicita, in modo da trovare la derivata prima di $\varphi(x)$ e quindi il coefficiente angolare della funzione in un determinato punto. Qui tuttavia mi scontro con il primo dubbio! La funzione $\varphi(x)$ non è definita in $\0$ quindi ha senso applicare il teorema in $\x = 0$ ? Anche se fosse solo come "limite"?
Detto questo ho cercato allora un punto da cui partire e nel quale applicare proprio il teorema di Dini. Quindi ho preso $\(2x^4)/e^(3x) = e^y/y$ e, posto $\y = 1$ , ho scoperto che $\(2x^4)/e^(3x) = e$.
Applicando Dini ottengo: $\dot varphi(x) = - (8x^3y - 3e^(3x+y))/(2x^4 - e^(3x+y))$ e, ponendo $\y = 1$, modifico opportunamente la derivata prima di $\varphi(x)$ per ottenere il rapporto pari ad $\e$ sopra scritto.
Dopo qualche conto ottengo: $\dot varphi(x) = ((4e)/x -3e)/(e-e)$ che per $\x rightarrow 0$ vale $\+oo$.
Nonostante questo il procedimento mi sembra sbagliato e sicuramente poco consono alla risoluzione di un esercizio di questo tipo (intendo il secondo punto). La soluzione dice che la prima affermazione è falsa e la seconda è invece vera. Grazie in anticipo a chiunque risponderà.
Risposte
Non mi pare che la seconda sia vera...
Infatti, da $(2x^4)/(e^(3x))=(e^y)/y$, da $y>0$ e da $e^y >= y+1 > y$ ricavi $2x^4 > e^(3x)$, quindi esiste un punto $xi <0$ tale che $"Dom" phi subseteq ]-oo, xi[$ ($xi approx -0.6$).
Ne viene che $0$ non è un punto di accumulazione per $"Dom" phi$ e perciò non ha senso parlare di asintoto verticale di equazione $x=0$.
Infatti, da $(2x^4)/(e^(3x))=(e^y)/y$, da $y>0$ e da $e^y >= y+1 > y$ ricavi $2x^4 > e^(3x)$, quindi esiste un punto $xi <0$ tale che $"Dom" phi subseteq ]-oo, xi[$ ($xi approx -0.6$).
Ne viene che $0$ non è un punto di accumulazione per $"Dom" phi$ e perciò non ha senso parlare di asintoto verticale di equazione $x=0$.
Pure io inizialmente avrei detto che non esiste un asintoto in $\x = 0$, ma purtroppo l'esercizio dà come soluzione vera proprio la seconda affermazione.
Rappresentando la curva con qualche programma ho potuto notare anche io che la funzione implcita non esiste in $\x = 0$, ma, appunto, sembra che ci sia un asintoto. Se non ricordo male invece esiste un asintoto in $\y = 0$.
Rappresentando la curva con qualche programma ho potuto notare anche io che la funzione implcita non esiste in $\x = 0$, ma, appunto, sembra che ci sia un asintoto. Se non ricordo male invece esiste un asintoto in $\y = 0$.
"Thrank":
Pure io inizialmente avrei detto che non esiste un asintoto in $x = 0$, ma purtroppo l'esercizio dà come soluzione vera proprio la seconda affermazione.
Non può essere vero.
Chiedi spiegazioni al docente.
"Thrank":
Rappresentando la curva con qualche programma ho potuto notare anche io che la funzione implcita non esiste in $x = 0$, ma, appunto, sembra che ci sia un asintoto.
No, perché la funzione non esiste in tutto un intorno sinistro di $0$... Quindi l'asintoto non può esserci.
Poi, attenzione a quando disegni grafici con software (quale?), perché alcuni programmi diagrammano direttamente i grafici delle soluzioni in campo complesso delle equazioni elementari (emblematico il caso di WolframAlpha).
"Thrank":
Se non ricordo male invece esiste un asintoto in $\y = 0$.
Sì, può essere, dato che nella legge di $y=phi(x)$ viene fuori una funzione di Lambert.
Grazie, hai fugato i miei dubbi in merito!
Utilizzo WolframAlpha, ma anche Geogebra e Derive proprio per quel motivo.
Utilizzo WolframAlpha, ma anche Geogebra e Derive proprio per quel motivo.
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