Funzione generatrice

[GuidoFretti1]

Buonasera, sto trovando difficoltà nella risoluzione del seguente esercizio:
Siano date $Q_1=q_1+q_2$ e $Q_2=q_2$, si trovi $F_2(q_1,q_2,P_1,P_2)$ soddisfacente le seguenti condizioni:
$Q_1=((dF_2)/(dP_1))$
$Q_2=((dF_2)/(dP_2))$
$p_1=((dF_2)/(dq_1))$
$p_2=((dF_2)/(dq_2))$

Poiché $Q_i$ dipendono solo da $q_i$, allora la trasformazione è puntuale e quindi:
$F_2(q_1,q_2,P_1,P_2)=(Q_1+Q_2)P_1 + Q_2P_2$

Tuttavia se non si fosse fatta questa osservazione, come bisognerebbe procedere per ottenere la corretta espressione della funzione $F_2$ ?
Penso bisogni integrare però non mi è chiaro come procedere e in quali variabili integrare per primo.
Grazie

[pilloeffe]

Ciao GuidoFretti,

Osserverei innanzitutto che le derivate sono parziali e che se $F_2 = F_2(q_1,q_2,P_1,P_2) $ si ha:

$ \text{d}F_2 = ((\del F_2)/(\del q_1))\text{d}q_1 + ((\del F_2)/(\del q_2))\text{d}q_2 + ((\del F_2)/(\del P_1))\text{d}P_1 + ((\del F_2)/(\del P_2)) \text{d}P_2 = $
$ = p_1 \text{d}q_1 + p_2 \text{d}q_2 + Q_1\text{d}P_1 + Q_2 \text{d}P_2 $

"GuidoFretti":Poiché $Q_i $ dipendono solo da $q_i $, allora la trasformazione è puntuale e quindi:
$ F_2(q_1, q_2, P_1, P_2) = (Q_1 + Q_2)P_1 + Q_2 P_2 $

Casomai

$ F_2(q_1, q_2, P_1, P_2) = (q_1 + q_2)P_1 + q_2 P_2 $

ed in tal caso si ha:

$ p_2 = (\del F_2)/(\del q_2) = P_1 + P_2 $

$ p_1 = (\del F_2)/(\del q_1) = P_1 $

[GuidoFretti1]

Si allora $F_2(q_1,q_2,P_1,P_2)=(q_1+q_2)P_1+q_2P_2$ è stato un mio errore di distrazione.

Ma avendo la condizione, che mi è chiaro come ottieni,allora
dF_2=p_1(dq_1)+p_2(dq_2)+P_1(dQ_1)+P_2(dQ_2)
Come procedo però per individuare $F_2$?
Integro in $dq_1$ e metto $F_2=p_1q_1+H(q_2,Q_1,Q_2)$ e poi?
Grazie

[pilloeffe]

La cosa più semplice che mi viene in mente è integrare omettendo le costanti rispetto alla variabile di integrazione (ovvero le funzioni rispetto alle altre variabili) e poi sommare per ottenere $F_2$:

$F_{21} = \int ((\del F_2)/(\del P_1))\text{d}P_1 = \int Q_1 \text{d}P_1 = (q_1 + q_2)\int \text{d}P_1 = (q_1 + q_2) P_1 $

$F_{22} = \int ((\del F_2)/(\del P_2))\text{d}P_2 = \int Q_2 \text{d}P_2 = q_2\int \text{d}P_2 = q_2 P_2 $

$F_2 = F_{21} + F_{22} = (q_1 + q_2) P_1 + q_2 P_2 $

[GuidoFretti1]

Perché però consideri solo gli integrali in $dP_i, i=1,2$ e non si considerano quelli in $q_i$?

[pilloeffe]

"GuidoFretti":e non si considerano quelli in $q_i$?

Probabilmente intendevi quelli in $\text{d}q_i $. Non abbiamo vincoli su quei due integrali, e non sappiamo neanche quanto valgono le derivate parziali, che si sono potute calcolare solo successivamente, una volta nota l'espressione di $F_2 $. Invece abbiamo informazioni sulle derivate parziali che compaiono nei due integrali in $\text{d}P_i $, dato che dal testo si deduce subito che si ha:

$Q_1 = (\del F_2)/(\del P_1) = q_1 + q_2 $

$Q_2 = (\del F_2)/(\del P_2) = q_2 $

[GuidoFretti1]

Perfetto, quindi solamente da quelle informazioni posso ricavare $F_2$ e quindi poi va tutto abbastanza liscio.
Grazie