Funzione $f(x,y)=\frac{\ln(x+y)}{x+y}+\frac{x+y}{\ln(x+y)}$
Ciao a tutti 
Ho la seguente funzione:
$f(x,y)=\frac{\ln(x+y)}{x+y}+\frac{x+y}{\ln(x+y)}$
Viene chiesto di:
a) stabilire se è limitata superiormente e/o inferiormente
b) trovare, se esistono, i punti di massimo e di minimo della funzione nell'insieme $A=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : 3 \le x+y \le 4 ; x \ge 0 ; y \ge 0 \}$
Ovviamente non so se sto facendo giusto.
a) Calcolo innanzitutto il dominio, che risulta essere
\(\displaystyle \begin{cases} x+y>0 \\ x+y \ne 1 \end{cases} \)
dopodiché calcolo le derivate parziali, che mi risultano essere uguali:
$f_x=f_y=\frac{\frac{1}{x+y}(x+y)-\ln(x+y)}{(x+y)^2}+\frac{\ln(x+y)-(x+y)\frac{1}{x+y}}{(\ln(x+y))^2} = \frac{1-\ln(x+y)}{(x+y)^2}+\frac{\ln(x+y)-1}{(\ln(x+y))^2}$
Ora pongo:
\(\displaystyle \begin{cases} f_x=0 \\ f_y=0 \end{cases} \)
$\Rightarrow 1-\ln(x+y)+\ln(x+y)-1 = 0,$ $\forall x, y \in \mathbb{R}$
Questo però cosa significa?
b) L'insieme A è un trapezio isoscele
Prima ho trovato che posto il gradiente nullo ottengo sempre 0 per qualunque variabile. Weierstrass però mi dice che a questo punto se max/min esistono devono esistere lungo i bordi $\Rightarrow$ controllo i bordi.
Chiamo α, β i bordi rispettivamente sull'ascissa e sull'ordinata; γ , δ rispettivamente le basi minore e maggiore del trapezio.
α) $3 \le x \le 4; y=0$
$f(x,0)=\frac{\lnx}{x}+\frac{x}{\lnx}$
$f_x(x, 0)=\frac{1-\lnx}{x^2}+\frac{\lnx -1}{(\lnx)^2} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{1-\lnx}{x^2} \ge \frac{1-\lnx}{(\lnx)^2} \Leftrightarrow x^2 \le (\ln(x))^2$ che però non è mai verificata per l'insieme in questione $Rightarrow$ la funzione decresce lungo α.
β) $x=0; 3 \le y \le 4$
$f(0,y)=\frac{\lny}{y}+\frac{y}{\lny}$
$f_y(0, y)=\frac{1-\lny}{y^2}+\frac{\lny -1}{(\lny)^2} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{1-\lny}{y^2} \ge \frac{1-\lny}{(\lny)^2} \Leftrightarrow y^2 \le (\ln(y))^2$ che però non è mai verificata per l'insieme in questione $Rightarrow$ la funzione decresce lungo β.
γ) $x=x, y=-x+3$
$f(x,3-x)=\frac{\ln(x+3-x)}{x+3-x}+\frac{x+3-x}{\ln(x+3-x)}= \frac{\ln(3)}{3}+\frac{3}{\ln(3)}$ che è un numero (=costante) positivo lungo tutto il bordo γ. Non è necessario calcolare la derivata.
δ) $x=x, y=-x+4$
$f(x,4-x)=\frac{\ln(x+4-x)}{x+4-x}+\frac{x+4-x}{\ln(x+4-x)}= \frac{\ln(4)}{4}+\frac{4}{\ln(4)}$ che è un numero (=costante) positivo lungo tutto il bordo δ. Non è necessario calcolare la derivata.
Mettendo insieme i pezzi, avrei come punti di massimo il bordo δ e come punti di minimo il bordo γ, però questo contrasta con quanto ho calcolato per i bordi α e β (se è vero che entrambi decrescono lungo gli assi, com'è possibile che δ sia più grande di γ?
Ho la seguente funzione:
$f(x,y)=\frac{\ln(x+y)}{x+y}+\frac{x+y}{\ln(x+y)}$
Viene chiesto di:
a) stabilire se è limitata superiormente e/o inferiormente
b) trovare, se esistono, i punti di massimo e di minimo della funzione nell'insieme $A=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : 3 \le x+y \le 4 ; x \ge 0 ; y \ge 0 \}$
Ovviamente non so se sto facendo giusto.
a) Calcolo innanzitutto il dominio, che risulta essere
\(\displaystyle \begin{cases} x+y>0 \\ x+y \ne 1 \end{cases} \)
dopodiché calcolo le derivate parziali, che mi risultano essere uguali:
$f_x=f_y=\frac{\frac{1}{x+y}(x+y)-\ln(x+y)}{(x+y)^2}+\frac{\ln(x+y)-(x+y)\frac{1}{x+y}}{(\ln(x+y))^2} = \frac{1-\ln(x+y)}{(x+y)^2}+\frac{\ln(x+y)-1}{(\ln(x+y))^2}$
Ora pongo:
\(\displaystyle \begin{cases} f_x=0 \\ f_y=0 \end{cases} \)
$\Rightarrow 1-\ln(x+y)+\ln(x+y)-1 = 0,$ $\forall x, y \in \mathbb{R}$
Questo però cosa significa?
b) L'insieme A è un trapezio isoscele
Prima ho trovato che posto il gradiente nullo ottengo sempre 0 per qualunque variabile. Weierstrass però mi dice che a questo punto se max/min esistono devono esistere lungo i bordi $\Rightarrow$ controllo i bordi.
Chiamo α, β i bordi rispettivamente sull'ascissa e sull'ordinata; γ , δ rispettivamente le basi minore e maggiore del trapezio.
α) $3 \le x \le 4; y=0$
$f(x,0)=\frac{\lnx}{x}+\frac{x}{\lnx}$
$f_x(x, 0)=\frac{1-\lnx}{x^2}+\frac{\lnx -1}{(\lnx)^2} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{1-\lnx}{x^2} \ge \frac{1-\lnx}{(\lnx)^2} \Leftrightarrow x^2 \le (\ln(x))^2$ che però non è mai verificata per l'insieme in questione $Rightarrow$ la funzione decresce lungo α.
β) $x=0; 3 \le y \le 4$
$f(0,y)=\frac{\lny}{y}+\frac{y}{\lny}$
$f_y(0, y)=\frac{1-\lny}{y^2}+\frac{\lny -1}{(\lny)^2} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{1-\lny}{y^2} \ge \frac{1-\lny}{(\lny)^2} \Leftrightarrow y^2 \le (\ln(y))^2$ che però non è mai verificata per l'insieme in questione $Rightarrow$ la funzione decresce lungo β.
γ) $x=x, y=-x+3$
$f(x,3-x)=\frac{\ln(x+3-x)}{x+3-x}+\frac{x+3-x}{\ln(x+3-x)}= \frac{\ln(3)}{3}+\frac{3}{\ln(3)}$ che è un numero (=costante) positivo lungo tutto il bordo γ. Non è necessario calcolare la derivata.
δ) $x=x, y=-x+4$
$f(x,4-x)=\frac{\ln(x+4-x)}{x+4-x}+\frac{x+4-x}{\ln(x+4-x)}= \frac{\ln(4)}{4}+\frac{4}{\ln(4)}$ che è un numero (=costante) positivo lungo tutto il bordo δ. Non è necessario calcolare la derivata.
Mettendo insieme i pezzi, avrei come punti di massimo il bordo δ e come punti di minimo il bordo γ, però questo contrasta con quanto ho calcolato per i bordi α e β (se è vero che entrambi decrescono lungo gli assi, com'è possibile che δ sia più grande di γ?
Risposte
faccio il punto (a) cosi mi esercito.
ci sono due modi che conosco:
1) con le linee di livello
2) con le restrizioni
le linee di livello le si usano piu che altro quando ci sono polinomi.
con le restrizioni:
$(x,0)$ con $x=\0$ ho una funzione di una variabile in $x$:
$lim_(x->+oo) (x/(ln x) + (ln x)/x) = +oo$ (lo stesso vale per $y$ perchè la $f$ è simmetrica) quindi risulta illimitata superiormente
con lo stesso ragionamento per $x-> -oo$ il quale limite mi da che la f è illimitata inferiormente...
qualcuno può dare conferma? o smentire? xD grazie
ci sono due modi che conosco:
1) con le linee di livello
2) con le restrizioni
le linee di livello le si usano piu che altro quando ci sono polinomi.
con le restrizioni:
$(x,0)$ con $x=\0$ ho una funzione di una variabile in $x$:
$lim_(x->+oo) (x/(ln x) + (ln x)/x) = +oo$ (lo stesso vale per $y$ perchè la $f$ è simmetrica) quindi risulta illimitata superiormente
con lo stesso ragionamento per $x-> -oo$ il quale limite mi da che la f è illimitata inferiormente...
qualcuno può dare conferma? o smentire? xD grazie
Nessuno può confermare?
Per quanto riguarda la limitatezza superiore puoi calcolare:
$lim_{(x, y) \to \+infty} f(x, y)$
Nel caso in cui il tuo limite diverga, significa necessariamente che la funzione non è superiormente limitata.
Procedimento analogo per $lim_{(x, y) \to \-infty} f(x, y)$.
Ti suggerisco di provare a farlo passando alle coordinate polari, ottenendo quindi il limite in funzione di $\rho$, o in alternativa, con un'altra trasformazione di coordinate.
Il limite per gli infiniti, tuttavia non ti consente di stabilire la limitatezza assoluta della funzione.
Mi spiego: il fatto che il limite per gli infiniti diverga, è già sufficiente per poter affermare che la funzione non è limitata, ma nel caso in cui questo limite esista e sia finito, non ti permette di dire che la funzione è limitata.
In questo caso, puoi cercare un certo valore grande (piccolo) a piacere per stabilire se la funzione è superiormente (inferiormente) limitata, chiamiamolo genericamente $K$, tale che sia soddisfatta la disuguaglianza:
$|f(x, y)| <= K$ ($|f(x, y)| >= K$) comunque tu abbia scelto $K$.
Per quanto riguarda la tua seconda domanda invece, potresti provare a utilizzare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange per gli estremi vincolati, o in alternativa (ma molto più logorante), potresti provare a trovare tutti i punti di massimo o di minimo e successivamente valutare quali si trovino o meno all'interno della superficie richiesta.
$lim_{(x, y) \to \+infty} f(x, y)$
Nel caso in cui il tuo limite diverga, significa necessariamente che la funzione non è superiormente limitata.
Procedimento analogo per $lim_{(x, y) \to \-infty} f(x, y)$.
Ti suggerisco di provare a farlo passando alle coordinate polari, ottenendo quindi il limite in funzione di $\rho$, o in alternativa, con un'altra trasformazione di coordinate.
Il limite per gli infiniti, tuttavia non ti consente di stabilire la limitatezza assoluta della funzione.
Mi spiego: il fatto che il limite per gli infiniti diverga, è già sufficiente per poter affermare che la funzione non è limitata, ma nel caso in cui questo limite esista e sia finito, non ti permette di dire che la funzione è limitata.
In questo caso, puoi cercare un certo valore grande (piccolo) a piacere per stabilire se la funzione è superiormente (inferiormente) limitata, chiamiamolo genericamente $K$, tale che sia soddisfatta la disuguaglianza:
$|f(x, y)| <= K$ ($|f(x, y)| >= K$) comunque tu abbia scelto $K$.
Per quanto riguarda la tua seconda domanda invece, potresti provare a utilizzare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange per gli estremi vincolati, o in alternativa (ma molto più logorante), potresti provare a trovare tutti i punti di massimo o di minimo e successivamente valutare quali si trovino o meno all'interno della superficie richiesta.
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