Funzione esponenziale e limiti
Il professore ci ha fatto dimostrare i limiti dell'esponenziale a$+infty$ e $-infty$. Per farlo ha dimostrato che il codominio dell'esponenziale è un intervallo con inf=0 e sup=$+infty$.Quindi ci ha dimostrato che l'intervallo è superiormente illimitato.
Per farlo ha supposto per assurdo che non lo sia, e che quindi esista M, numero reale, t.c. $M>(a^n)=(1+(a-1)^n)>=(1+n*(a-1))$, con la disuguaglianza di bernoulli.Poi però ha detto che per n sufficientemente grandi $(1+n*(a-1))$ è maggiore di $a^n$.
Ma se la disuguaglianza di Bernoulli è verificata per ogni $n>=1$ perchè in questo caso non lo è?
Per farlo ha supposto per assurdo che non lo sia, e che quindi esista M, numero reale, t.c. $M>(a^n)=(1+(a-1)^n)>=(1+n*(a-1))$, con la disuguaglianza di bernoulli.Poi però ha detto che per n sufficientemente grandi $(1+n*(a-1))$ è maggiore di $a^n$.
Ma se la disuguaglianza di Bernoulli è verificata per ogni $n>=1$ perchè in questo caso non lo è?
Risposte
Supponiamo esista $M$ tale che $a^n < M$ , $AA n in NN$. ( $a > 1$ )
La disuguaglianza di Bernoulli è: $( 1 + x )^n >= 1 + n x$
Chiama $1 + x = a$, hai che $a^n >= 1 + n ( a - 1 )$. Ma abbiamo supposto che $a^n$ sia limitata, quindi anche $1 + n ( a - 1 ) < M$ e questo è assurdo. Infatti puoi scegliere $n$ sufficientemente grande affinché $1 + n ( a - 1 ) >= M$.
La disuguaglianza di Bernoulli è: $( 1 + x )^n >= 1 + n x$
Chiama $1 + x = a$, hai che $a^n >= 1 + n ( a - 1 )$. Ma abbiamo supposto che $a^n$ sia limitata, quindi anche $1 + n ( a - 1 ) < M$ e questo è assurdo. Infatti puoi scegliere $n$ sufficientemente grande affinché $1 + n ( a - 1 ) >= M$.
ok grazie 
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