Funzione Equivalente
ciao a tutti, mi stavo esercitando al calcolo dell'ordine e della parte principale di infinitesimo quando trovo un esercizio già svolto dal libro in cui mi fa questa equivalenza che non capisco:
$1-cos(x^3) $ ~$_(0^+)$ $1/2 x^6$
Grazie!
edit:
ho provato a fare diversi esercizi con successo ma c'è uno che non riesco a calcolare la funzione equivalente:
$ root(3)(1+x^5) - root(4)(1-x^5) $ non so a cosa è equivalente a $0$ ovvero per $x->0$
mi viene 1-1=0 e non può essere perchè poi mi serve per confrontarla con la funzione "test"
ho provato anche a trasformarla ma non concludo nulla: $(1+x^5)^(1/3) - (1-x^5)^(1/4)$
spero in qualche vostro suggerimento,
Grazie per eventuali risposte
$1-cos(x^3) $ ~$_(0^+)$ $1/2 x^6$
Grazie!
edit:
ho provato a fare diversi esercizi con successo ma c'è uno che non riesco a calcolare la funzione equivalente:
$ root(3)(1+x^5) - root(4)(1-x^5) $ non so a cosa è equivalente a $0$ ovvero per $x->0$
mi viene 1-1=0 e non può essere perchè poi mi serve per confrontarla con la funzione "test"
ho provato anche a trasformarla ma non concludo nulla: $(1+x^5)^(1/3) - (1-x^5)^(1/4)$
spero in qualche vostro suggerimento,
Grazie per eventuali risposte
Risposte
Usa lo sviluppo di taylor di tali funzioni!
Grazie per la dritta!
peccato che al momento non so farlo
ho studiato la matematica in soli due mesi (e normalmente richiederebbe mooooolto di più), non ci sono arrivato
ho cercato di puntare alla risoluzione degli esercizi dell'esame....
cmq vedrò che riesco a fare.. almeno so con che serve taylor
grazie ancora!
peccato che al momento non so farlo
ho studiato la matematica in soli due mesi (e normalmente richiederebbe mooooolto di più), non ci sono arrivato
ho cercato di puntare alla risoluzione degli esercizi dell'esame....
cmq vedrò che riesco a fare.. almeno so con che serve taylor
grazie ancora!
Beh... Se ti serve un'approssimazione rozza puoi usare anche solo i limiti notevoli.
Tu sai che $lim_{x->0} \frac { 1-cos(x) } { x^2 } = 1/2 $ da qui deduci che per $x->0$ vale: $1-cosx \approx x^2/2 $.
Ora nel tuo caso hai $x^3$ quindi questa approssimazione diventa: $1-cos(x^3) \approx x^6/2$
Tu sai che $lim_{x->0} \frac { 1-cos(x) } { x^2 } = 1/2 $ da qui deduci che per $x->0$ vale: $1-cosx \approx x^2/2 $.
Ora nel tuo caso hai $x^3$ quindi questa approssimazione diventa: $1-cos(x^3) \approx x^6/2$
Ti dico che 2 esami di matematica (essendo io studente in tale materia) l'uno il continuo dell'altro li ho preparati come si deve in 4 mesi (non sò come) visto che in genere un solo esame non scritto c'è né metto almeno 5!Non puntare solo sullo scritto perché la pratica è solo la verifica della teoria; buona fortuna!
pater46 sei un genio!!!!! 
così non dovrò fare Taylor in un giorno!!
il primo era solo un esempio del libro, il secondo è un esercizio di un vecchio esame che sto cercando di risolvere, seguendo il tuo consiglio ho fatto così:
$ lim_(x->0) root(3)(1+x^5) - root(4)(1-x^5) = lim_(x->0) (1+x^5)^(1/3) - (1+x^5)^(1/4) $ ma non trovo un limite notevole che si adatta, quello che si avvicina di più è $lim_(x->0) (1+x)^(1/x) = e$ ho provato a trasformarla ma non assomiglia a nessun limite notevole
j18eos Grazie; avendo superato altre materie ad aprile mi è rimasta solo matematica per questo semestre, ed allora ho pensato di fare tutto il possibile per cercare di superarla nella sessione di giugno e fare altre materie per l'estate, se dovesse andare male vuol dire che la farò approfondita per la sessione di settembre.
così non dovrò fare Taylor in un giorno!!il primo era solo un esempio del libro, il secondo è un esercizio di un vecchio esame che sto cercando di risolvere, seguendo il tuo consiglio ho fatto così:
$ lim_(x->0) root(3)(1+x^5) - root(4)(1-x^5) = lim_(x->0) (1+x^5)^(1/3) - (1+x^5)^(1/4) $ ma non trovo un limite notevole che si adatta, quello che si avvicina di più è $lim_(x->0) (1+x)^(1/x) = e$ ho provato a trasformarla ma non assomiglia a nessun limite notevole
j18eos Grazie; avendo superato altre materie ad aprile mi è rimasta solo matematica per questo semestre, ed allora ho pensato di fare tutto il possibile per cercare di superarla nella sessione di giugno e fare altre materie per l'estate, se dovesse andare male vuol dire che la farò approfondita per la sessione di settembre.
purtroppo mi devo assentare per una mezzoretta, appena torno cercherò di risolvere l'esercizio. scusate
edit: Grazie per la risposta pater46 e j18eos, appena torno ci provo subito
edit: Grazie per la risposta pater46 e j18eos, appena torno ci provo subito
Bhe potresti usare ad esempio $lim_{x->0} \frac{ (1+x)^a - 1 }{ x} = a $ per arrivare a $(1+x)^a \approx 1 + ax$
Come limite notevole che vi assomiglia vi è:
[tex]$\lim_{x\to0}\frac{(x+1)^{\alpha}-1}{x}=\alpha$[/tex]
[tex]$\lim_{x\to0}\frac{(x+1)^{\alpha}-1}{x}=\alpha$[/tex]
in effetti questo si che vi assomiglia.
ho "risolto" l'esercizio:
quindi nel mio caso approssimando il lim notevole:
$ lim_(x->0) (1+x^5)^(1/3) - (1-x^5)^(1/4) = (1+1/3x^5) - (1-1/4 x^5)$
è corretto il procedimento?
quindi ora posso confrontarla con la funzione campione $g(x)=x^alpha$ in cui $alpha$ deve essere $=5$ quindi la funzione ha ordine di infinitesimo 5, il lim è uguale al rapporto tra i termini x, ma qua ce ne sono 2, potrebbe essere : $(1/3 x^5 - 1/4 x ^5)/x^5 = 1/3 - 1/4 = 1/12$ ?
allora arrivato a questo punto $f(x) = 1/12 x^5 + o(x^5)$, per $x-> 0$, la parte principale di infinitesimo è $1/12 x^5$.
mi confermate?
grazie per la pazienza e sopratutto per il vostro aiuto!
ho "risolto" l'esercizio:
quindi nel mio caso approssimando il lim notevole:
$ lim_(x->0) (1+x^5)^(1/3) - (1-x^5)^(1/4) = (1+1/3x^5) - (1-1/4 x^5)$
è corretto il procedimento?
quindi ora posso confrontarla con la funzione campione $g(x)=x^alpha$ in cui $alpha$ deve essere $=5$ quindi la funzione ha ordine di infinitesimo 5, il lim è uguale al rapporto tra i termini x, ma qua ce ne sono 2, potrebbe essere : $(1/3 x^5 - 1/4 x ^5)/x^5 = 1/3 - 1/4 = 1/12$ ?
allora arrivato a questo punto $f(x) = 1/12 x^5 + o(x^5)$, per $x-> 0$, la parte principale di infinitesimo è $1/12 x^5$.
mi confermate?
grazie per la pazienza e sopratutto per il vostro aiuto!
Non capisco il tuo $-1/4$ che è spuntato nella risoluzione. Non devi mica cambiare il segno...
Per $ x -> 0 $ hai $ (1+x)^a ~ ax + 1 $
quindi diventa: $ lim_(x->0) (1+x^5)^(1/3) - (1+x^5)^(1/4) = lim_(x->0) (1+1/3x^5) - (1+1/4 x^5) = lim_(x->0) 7/12 x^5$
Quindi: $ f(x) = 7/12 x^5 + o(x^5) $
Per $ x -> 0 $ hai $ (1+x)^a ~ ax + 1 $
quindi diventa: $ lim_(x->0) (1+x^5)^(1/3) - (1+x^5)^(1/4) = lim_(x->0) (1+1/3x^5) - (1+1/4 x^5) = lim_(x->0) 7/12 x^5$
Quindi: $ f(x) = 7/12 x^5 + o(x^5) $
mi sono accorto di aver sbagliato a scrivere il segno (lo vado a correggere subito!), il limite iniziale è:
$ lim_(x->0) (1+x^5)^(1/3) - (1-x^5)^(1/4)$
e quindi applicando l'approssimazione del limite notevole diventa: $(1+1/3x^5) - (1-1/4 x^5)
o dovrei mettere $+$ al secondo "membro" perchè dal limite notevole ho: $1+ax$ ?
Grazie!
PS: ma ho sbagliato nella risoluzione del limite?
$ lim_(x->0) (1+x^5)^(1/3) - (1-x^5)^(1/4)$
e quindi applicando l'approssimazione del limite notevole diventa: $(1+1/3x^5) - (1-1/4 x^5)
o dovrei mettere $+$ al secondo "membro" perchè dal limite notevole ho: $1+ax$ ?
Grazie!
PS: ma ho sbagliato nella risoluzione del limite?
nono è corretto come hai fatto, solo che ti sei dimenticato di cambiare il segno al $-1/4x^5$ perchè hai un'altro - fuori dalla parentesi.
Quindi si, viene come riportato da mgiaff. Se devi rapportare questa funzione con $x^5$ allora viene proprio $7/12$.
Quindi si, viene come riportato da mgiaff. Se devi rapportare questa funzione con $x^5$ allora viene proprio $7/12$.
ho rifatto i calcoli con il segno cambiato ed il lim viene $7/12$
come avete detto voi, Grazie mille a tutti per l'aiuto!
come avete detto voi, Grazie mille a tutti per l'aiuto!
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