Funzione e derivata seconda limitate

[simone2903]

Salve a tutti, vorrei proporre un problema che ho trovato sull'Acerbi-Buttazzo, Primo corso di Analisi Matematica, che mi è sembrato molto interessante:
Sia $f:[0,\infty)\to RR$ una funzione derivabile due volte e tale che per ogni $x$ :
$|f(x)|<=C_o$ ; $|f''(x)|<=C_2$
Dimostrare che $|f'(x)|<=2sqrt(C_0*C_2)$

[Rigel1]

E' un esercizio abbastanza standard (ma comunque interessante); una sua variante è la seguente.
Sia \(f:\mathbb{R}\to (0,+\infty)\) una funzione derivabile due volte, con \(f''(x) \leq M\), \(M>0\), per ogni \(x\in\mathbb{R}\). Dimostrare che \(|f'(x)| < \sqrt{2M f(x)}\) per ogni \(x\in\mathbb{R}\).

[gugo82]

Questo lo si era già risolto una volta...

Una disuguaglianza di quel tipo porta il nome di una matematico abbastanza noto (russo, se non erro) però adesso non ricordo bene di chi.

[Rigel1]

"gugo82":Una disuguaglianza di quel tipo porta il nome di una matematico abbastanza noto (russo, se non erro) però adesso non ricordo bene di chi.

Boh, non saprei.
Io ho incontrato la prima volta quell'esercizio svariate ere geologiche fa sul fido Rudin, Principles...

[simone2903]

Io lo farei così (ma non so se è giusto).
Poichè:
$|f''(x)|<=C_2 \Rightarrow\int|f''(x)|dx<=\intC_2dx $
$\Rightarrow|f'(x)|<=C_2*x $
$\Rightarrow\int|f'(x)|dx<=\intC_2xdx $
$\Rightarrow|f(x)|<=C_2*(x^2)/2$,
ma se consideriamo $\Sup|f(x)|=C_0 \Rightarrow\C_0<=C_2*x^2/2\Rightarrow\|x|>=sqrt(2C_0/C_2)$ e sostituendo nella disequazione della derivata prima otteniamo $|f''(x)|<=C_2sqrt(2C_0/C_2)=sqrt(2C_0C_2)$. I problemi però stanno nel fatto che: 1) nel capitolo in cui il problema è inserito è quello delle derivate e non si parla di integrali se non come accenno, quindi forse si poteva risolvere in qualche altro modo più intelligente. 2) Non sono sicuro che i passaggi del mio calcolo siano del tutto leciti non avendo inserito gli estremi di integrazione (forse va bene lo stesso considerando le diseguaglianze valide all'interno del campo di esistenza? Spero di non averla detta troppo grossa ).3) L'esercizio metteva come soluzione il 2 fuori dalla radice, cosa che ovviamente nel nostro caso è ovvio ma non capisco come mai venga messa una stima più larga del necessario. Spero che il calcolo vada bene. Aspetto conferme o correzioni.

[gugo82]

Mi sono ricordato!

Quella si chiama disuguaglianza di Landau, ed è stata dimostrata da E. Landau nel 1913.
Nel 1963 A. Kolmogorov provò una generalizzazione di tale disuguaglianza, i.e.:
\[
\|f^{(n)}\|_{L_\infty(T)} \le C(N, n, T) {\|f\|_{L_\infty(T)}}^{1-n/N} {\|f^{(N)}\|_{L_\infty(T)}}^{n/N}
\]
con \(1\leq ndisuguaglianze di Landau-Kolmogorov.

Una dimostrazione che non fa uso del Calcolo Integrale è la seguente:

Usando Taylor al primo ordine con resto di Lagrange si trova:
\[
f(x+2h)=f(x)+f^\prime (x)\ 2h+ f^{\prime \prime}(\xi)\ 2h^2
\]
ove \(h>0\) e \(\xi \in [x,x+2h]\); riordinando e prendendo i valori assoluti si ottiene:
\[
|f^\prime (x)| \leq \frac{1}{2h} \Big (|f(x+2h)|+|f(x)|\Big) + |f^{\prime \prime}(\xi )|\ h
\]
da cui segue:
\[
|f^\prime (x)|\leq \frac{\lVert f\rVert_\infty}{h} +\lVert f^{\prime \prime}\rVert_\infty\ h\; .
\]
Dato che la precedente vale per ogni \(h>0\) allora essa importa:
\[
|f^\prime (x)|\leq \inf_{h>0} \frac{\lVert f \rVert_\infty}{h} +\lVert f^{\prime \prime}\rVert_\infty\ h
\]
e si vede che quell'estremo inferiore è in realtà un minimo, perché la funzione \(\phi (h)\) al secondo membro è continua (anzi, è \(C^\infty\)) e diverge positivamente agli estremi di \(]0,\infty[\). Tecniche standard di Calcolo Differenziale importano che il minimo è preso dove \(\phi^\prime (h)=0\), cioè per:
\[
h=\sqrt{\frac{\lVert f\rVert_\infty}{\lVert f^{\prime \prime}\rVert_\infty}}
\]
e tale minimo è proprio \(2\sqrt{\lVert f\rVert_\infty\ \lVert f^{\prime \prime}\rVert_\infty}\).

[simone2903]

Ma quindi il mio calcolo è giusto o no? Se il dominio e $[0;\infty)$ e non $RR$ perchè la disuguaglianza deve cambiare il fattore da $sqrt(2)$ a $2$ ? Forse ha a che fare con gli estremi di integrazione?? Insomma quello che non capisco è: Se si riesce a dimostrare che una funzione con quelle limitazioni con dominio in $RR$ è tale che $|f'(x)|<=sqrt(2C_0C_2)$ com'è possibile che se restringo il dominio a $[0,\infty)$ devo AUMENTARE il fattore a 2?