Funzione distanza con logaritmo

[Seneca1]

Sia $d : RR x RR -> RR$ così definita:

$d(x , y) = log ( 1 + |x - y|/2 )$

Con un po' di conti ho provato che si tratta di una distanza.

Esercizio: Stabilire se esistono due costanti positive $A , B$ tali che:

$A | x - y | <= log( 1 + | x - y |/2 ) <= B | x - y |$ , $AA x , y in RR$

Ponendo $t = | x - y |$, devo trovare due rette $A t$ , $B t$ che soddisfano alla disuguaglianza:


$A t <= log( 1 + t/2 ) <= B t$ , con $t >= 0$

Disegnata la funzione logaritmo, passante per $(0,0)$, positiva sulla semiretta $[ 0 , +oo [$, ci si accorge subito che qualsiasi retta passante per l'origine e con coefficiente angolare $B$ positivo non può giacere sotto il logaritmo $AA t in [ 0 , +oo [$

Magari si può formalizzare scrivendo $lim_(t -> +oo) log( 1 + t/2 ) - B t = - oo
Allora esiste un intorno di $+oo$ in cui la differenza $ log(1 + t/2) - B t < 0$, cioè per $t$ molto grandi $B t$ giace sopra a $log( 1 + t/2 )$, $AA B > 0$.

Quindi non esiste una costante $B$ che soddisfi alle condizioni richieste.

E' tutto corretto?

[dissonance]

Ok, ma il problema è $A$ non $B$, giusto? Non può esistere $A$ tale che $At <= log(1+t/2)$ per ogni $t ge 0$.

[Seneca1]

"dissonance":Ok, ma il problema è $A$ non $B$, giusto? Non può esistere $A$ tale che $At <= log(1+t/2)$ per ogni $t ge 0$.

Sì, scusami.

Ma è corretto ricondursi ad una singola variabile? E' corretto usare il concetto di limite per provare una proprietà di qualche particolare distanza?

[Seneca1]

Ancora una domanda. Provando a dimostrare la dis. triangolare, ho trovato - a meno di errori - che da:

$log( 1 + | x - z |/2) <= log( 1 + | x - y |/2) + log( 1 + | y - z |/2)$

ricavo $| x - z | <= | x - y | - | y - z | - | x y - y z + z^2 - x z |$ .

Maggiorando: $| x - z | <= | x - y | - | y - z | - | x y - y z + z^2 - x z | <= | x - y | + | y - z |$

ho la disuguaglianza triangolare per il valore assoluto (che sappiamo vera). Così ho concluso?

[ciampax]

Ma non dovresti fare il conto esattamente contrario? Cioè, tu vuoi dimostrare che la dis.triangolare vale per il logaritmo, e supponi sia vera e arrivi alla disuguaglianza triangolare "classica". In realtà dovresti fare l'esatto contrario, non ti pare?

[Seneca1]

"ciampax":Ma non dovresti fare il conto esattamente contrario? Cioè, tu vuoi dimostrare che la dis.triangolare vale per il logaritmo, e supponi sia vera e arrivi alla disuguaglianza triangolare "classica". In realtà dovresti fare l'esatto contrario, non ti pare?

Hai ragione.

Grazie mille ad entrambi.