Funzione dispari???
Mi è venuto un dubbio stavo studiando la seguente funzione:
$f(x)=(x-2)*e^(-1/x)$
Ho notato che la funzione non è pari perchè
$f(x)=(x-2)*e^(-1/x)$
ed è diverso da
$f(-x)=(-x-2)*e^(1/x)$ [giusto???]
Mentre non riesco a capire se la funzione sia o meno dispari????
$f(x)=(x-2)*e^(-1/x)$
Ho notato che la funzione non è pari perchè
$f(x)=(x-2)*e^(-1/x)$
ed è diverso da
$f(-x)=(-x-2)*e^(1/x)$ [giusto???]
Mentre non riesco a capire se la funzione sia o meno dispari????
Risposte
Hai calcolato correttamente $f(-x)$. Osserva che $-f(x)=-(x-2)*e^{-1/x}$, che è palesemente diverso da $f(-x)$: quindi la funzione non è nè pari nè dispari. Per convincertene, traccia il grafico con Derive o un programma simile.
Un suggerimento al volo: se una funzione è dispari, quanto può valere in 0 se in 0 è definita? E se è definita solo in un intorno dello 0, che tipo di limiti a sinistra ed a destra può avere? La tua funzione in 0 non è definita. Calcolane i limiti a sinistra e a destra.
Forse non mi è chiaro il suggerimento...ma se in 0 una funzione è definita, allora in 0 vale quello no???
Ma come hai detto tu la mia funzione non è definita in 0 perchè nel dominio escludo lo zero [dato che il denominatore deve essere diverso da 0.
Ora mi sto calcolando i limiti agli estremi del dominio quindi:
$lim_(x->+oo)((x-2)*e^(-1/x))$ = $+oo * e^(0) = +oo * 1 = +oo$ [giusto????]
$lim_(x->-oo)((x-2)*e^(-1/x))$ = $-oo * e^(0) = -oo * 1 = -oo$ [giusto????]
Poi calcolo come mi hai dato il suggerimento tu i limiti a sinistra e destra di questo intervallo 0:
$lim_(x->0+)((x-2)*e^(-1/x))$ = [non so come fare]
$lim_(x->0-)((x-2)*e^(-1/x))$ = $-oo*e^(-1/-oo) = -oo * e^0 = -oo * 1 = -oo$ [giusto?? no vero]
Ma come hai detto tu la mia funzione non è definita in 0 perchè nel dominio escludo lo zero [dato che il denominatore deve essere diverso da 0.
Ora mi sto calcolando i limiti agli estremi del dominio quindi:
$lim_(x->+oo)((x-2)*e^(-1/x))$ = $+oo * e^(0) = +oo * 1 = +oo$ [giusto????]
$lim_(x->-oo)((x-2)*e^(-1/x))$ = $-oo * e^(0) = -oo * 1 = -oo$ [giusto????]
Poi calcolo come mi hai dato il suggerimento tu i limiti a sinistra e destra di questo intervallo 0:
$lim_(x->0+)((x-2)*e^(-1/x))$ = [non so come fare]
$lim_(x->0-)((x-2)*e^(-1/x))$ = $-oo*e^(-1/-oo) = -oo * e^0 = -oo * 1 = -oo$ [giusto?? no vero]
$lim_(x->0+)((x-2)*e^(-1/x))=-2*e^(-1/(0^+))=-2*e^(-oo)=-2*0=0$
$lim_(x->0-)((x-2)*e^(-1/x))= -2*e^(-1/(0^-)) = -2 * e^(+oo) = -2 * (+oo) = -oo$
Credo che il tuo problema nasca di fronte ad una cosa del tipo $-1/(0^+)$, un numero fratto 0 va a $oo$ e vale la regola dei segni, ricorda che $0^-$ è un numero negativo e $0^+$ è un numero positivo, nel caso di $-1/(0^+)$ la regola dei segni dice che viene $-$, quindi $-1/(0^+)=-oo$
Spero tu abbia capito
$lim_(x->0-)((x-2)*e^(-1/x))= -2*e^(-1/(0^-)) = -2 * e^(+oo) = -2 * (+oo) = -oo$
Credo che il tuo problema nasca di fronte ad una cosa del tipo $-1/(0^+)$, un numero fratto 0 va a $oo$ e vale la regola dei segni, ricorda che $0^-$ è un numero negativo e $0^+$ è un numero positivo, nel caso di $-1/(0^+)$ la regola dei segni dice che viene $-$, quindi $-1/(0^+)=-oo$
Spero tu abbia capito
@erika: Ovviamente @melia ha tutta la ragione per la tecnica di calcolo dei limiti.
Io volevo suggerirti questo:
Esempio 1
[asvg]xmin=-1;xmax=1;axes();plot("sin(x)");[/asvg]
Questa funzione è dispari (si tratta della funzione seno), ed è definita nello zero. Come vedi in 0 vale 0. Poteva essere altrimenti, dal momento che $sin(-x)=-sin(x)$?
No: infatti $sin(0)=sin(-0)=-sin(0)$. E quindi $sin(0)=-sin(0)$ ma qual è l'unico numero uguale a sé stesso cambiato di segno?
Vediamo qualche esempio di funzione non definita in 0.
Esempio 2
[asvg]xmin=-1;xmax=1;ymin=-10; ymax=10;axes();plot("1/x");[/asvg]
Altra funzione dispari: si tratta di $x\mapsto1/x$, che è definita in $RR-{0}$. Nota che il limite per $x\to0^+$ è uguale al limite per $x\to0^(-)$ cambiato di segno.
Ultimo esempio:
Esempio 3
[asvg]xmin=-1;xmax=1;axes();plot("sign(x)");[/asvg]
Questa è la funzione $x/(|x|)$, non definita in 0 ma dispari. Nota ancora che, come prima, il limite per $x\to0^+$ è uguale al limite per $x\to0^(-)$ cambiato di segno.
Se ci pensi un attimo deve per forza essere così. Una funzione dispari definita in 0 (esempio 1), in 0 deve valere 0. Altrimenti non è dispari.
Una funzione dispari non definita in 0, ma che ammette limite destro e sinistro, deve comportarsi come negli esempi 2 e 3. Ovvero, il limite per $x\to0^+$ deve essere uguale al limite per $x\to0^-$ cambiato di segno.
Altrimenti la funzione non è dispari.
Adesso, leggi i limiti calcolati da @melia. Confronta con quanto detto finora. La tua funzione può mai essere dispari?
Io volevo suggerirti questo:
Esempio 1
[asvg]xmin=-1;xmax=1;axes();plot("sin(x)");[/asvg]
Questa funzione è dispari (si tratta della funzione seno), ed è definita nello zero. Come vedi in 0 vale 0. Poteva essere altrimenti, dal momento che $sin(-x)=-sin(x)$?
No: infatti $sin(0)=sin(-0)=-sin(0)$. E quindi $sin(0)=-sin(0)$ ma qual è l'unico numero uguale a sé stesso cambiato di segno?
Vediamo qualche esempio di funzione non definita in 0.
Esempio 2
[asvg]xmin=-1;xmax=1;ymin=-10; ymax=10;axes();plot("1/x");[/asvg]
Altra funzione dispari: si tratta di $x\mapsto1/x$, che è definita in $RR-{0}$. Nota che il limite per $x\to0^+$ è uguale al limite per $x\to0^(-)$ cambiato di segno.
Ultimo esempio:
Esempio 3
[asvg]xmin=-1;xmax=1;axes();plot("sign(x)");[/asvg]
Questa è la funzione $x/(|x|)$, non definita in 0 ma dispari. Nota ancora che, come prima, il limite per $x\to0^+$ è uguale al limite per $x\to0^(-)$ cambiato di segno.
Se ci pensi un attimo deve per forza essere così. Una funzione dispari definita in 0 (esempio 1), in 0 deve valere 0. Altrimenti non è dispari.
Una funzione dispari non definita in 0, ma che ammette limite destro e sinistro, deve comportarsi come negli esempi 2 e 3. Ovvero, il limite per $x\to0^+$ deve essere uguale al limite per $x\to0^-$ cambiato di segno.
Altrimenti la funzione non è dispari.
Adesso, leggi i limiti calcolati da @melia. Confronta con quanto detto finora. La tua funzione può mai essere dispari?
Ho analizzato bene la cosa e avete ragione la mia funzione non e' ne pari e neppure dispari....scusate la mia insistenza ma ora ho capito grazie
Sempre di questa funzione mi sono calcolata gli asintoti:
E dai limiti sopra ho notato che ho un asintoto verticale x=0.
Non ho asinstoti orizzontali.
Ora stavo calcolando l'esistenza di un asintoto obliquo:
$m = lim_(x->+oo)(f(x)/x = lim_(x->+oo)((x-2)*e^(-1/x))/x=(+oo*e^0)/+oo=e^0= 1$
[giusto il calcolo della m???]
Ora devo calcolare la q:
$q=lim_(x->+oo)(f(x)-mx)=lim_(x->+oo)(x-2)*e^(-1/x)-x=$
[da qui ditemi solamente se sbaglio e dove sbaglio che vorrei veramente capire]
$=xe^(-1/x)-2e^(-1/x)-x=x(e^(-1/x)-1)-2e^(-1/x)$
Ora non riesco piu ad andare avanti???
E dai limiti sopra ho notato che ho un asintoto verticale x=0.
Non ho asinstoti orizzontali.
Ora stavo calcolando l'esistenza di un asintoto obliquo:
$m = lim_(x->+oo)(f(x)/x = lim_(x->+oo)((x-2)*e^(-1/x))/x=(+oo*e^0)/+oo=e^0= 1$
[giusto il calcolo della m???]
Ora devo calcolare la q:
$q=lim_(x->+oo)(f(x)-mx)=lim_(x->+oo)(x-2)*e^(-1/x)-x=$
[da qui ditemi solamente se sbaglio e dove sbaglio che vorrei veramente capire]
$=xe^(-1/x)-2e^(-1/x)-x=x(e^(-1/x)-1)-2e^(-1/x)$
Ora non riesco piu ad andare avanti???
L'ultimo addendo tende a zero da solo, mentre il primo prodotto è identico all'esercizio di ieri e si risolve con il teorema di De L'Hopital portando la x a denominatore (guarda l'esempio che ti ho svolto ieri)
Io ci provo almeno con il vostro aiuto a superare i miei dubbi allora ho notato che ho a disposizione un limite notevole se non mi sto sbagliando:
$lim_(t->0)((e^t-1)/t)= 1$
Allora nel mio caso ho dopo aver seguito i tuoi suggerimenti:
$lim_(x->oo)(e^(-1/x)-1)/(1/x)-2*e^(-1/x)$
$lim_(x->oo)(-e^(-1/x)-1)/-(1/x)-2*e^(-1/x)$ [ho moltiplicato e diviso la prima frazione per -1]
ora applico il limite notevole perchè l'argomento di e tende a 0:
$lim_(x->oo)(-1-2) = -3$
Il risultato viene spero di aver ragionato bene...
$lim_(t->0)((e^t-1)/t)= 1$
Allora nel mio caso ho dopo aver seguito i tuoi suggerimenti:
$lim_(x->oo)(e^(-1/x)-1)/(1/x)-2*e^(-1/x)$
$lim_(x->oo)(-e^(-1/x)-1)/-(1/x)-2*e^(-1/x)$ [ho moltiplicato e diviso la prima frazione per -1]
ora applico il limite notevole perchè l'argomento di e tende a 0:
$lim_(x->oo)(-1-2) = -3$
Il risultato viene spero di aver ragionato bene...
Sto calcolando il segno della funzione:
$f(x)>=0$
$(x-2)*e^(-1/x)>=0$
Mi sa che qui sbaglio qualcosa:
$(x-2)>=0$
$x>=2$
poi invece:
$e^(-1/x)>=0$
dato che e è sempre positiva
$AA x in RR$
Quindi ottendo che:
$f(x)>0 per x in (2,+oo)$
$f(x)=0 per x=2$
Poi mi dice che:
$f(x)<0 per x in (-oo,0)$ [come mai da dove lo trova??? non sarebbe (-oo,2)????]
$f(x)>=0$
$(x-2)*e^(-1/x)>=0$
Mi sa che qui sbaglio qualcosa:
$(x-2)>=0$
$x>=2$
poi invece:
$e^(-1/x)>=0$
dato che e è sempre positiva
$AA x in RR$
Quindi ottendo che:
$f(x)>0 per x in (2,+oo)$
$f(x)=0 per x=2$
Poi mi dice che:
$f(x)<0 per x in (-oo,0)$ [come mai da dove lo trova??? non sarebbe (-oo,2)????]
$x=0 $ non fa parte del dominio della funzione in quanto annulla il denominatore dell'esponenete di $e $ ; la funzione è quindi $< 0 $ in $(-oo ,0 ) U (0,2 ) $
Camillo quello che immaginavo io solo che il prof continua a dirmi che f(x)<0 in $x in (-oo,0)$ ed è pure sicuro di sè boh
Sto calcolando la derivata prima:
$f(x)=(x-2)*e^(-1/x)$
Ed ottengo:
$f'(x)= 1*e^(-1/x)+(x-2)*(e^(-1/x)*-1/x^2) = e^(-1/x)-(x-2)*(e^(1/x)/x^2) $
Ora non riesco più ad andare avanti forse o sbagliato non lo so aiuto
$f(x)=(x-2)*e^(-1/x)$
Ed ottengo:
$f'(x)= 1*e^(-1/x)+(x-2)*(e^(-1/x)*-1/x^2) = e^(-1/x)-(x-2)*(e^(1/x)/x^2) $
Ora non riesco più ad andare avanti forse o sbagliato non lo so aiuto
ancora due calcoli
$f'(x)= 1*e^(-1/x)+(x-2)*e^(-1/x)*(-1/x^2)= e^(-1/x)-(x-2)*(e^(-1/x)/x^2)= e^(-1/x)*(1-(x-2)/x^2) =e^(-1/x)*(x^2-x+2)/x^2 $
$f'(x)= 1*e^(-1/x)+(x-2)*e^(-1/x)*(-1/x^2)= e^(-1/x)-(x-2)*(e^(-1/x)/x^2)= e^(-1/x)*(1-(x-2)/x^2) =e^(-1/x)*(x^2-x+2)/x^2 $
"erika86":
Camillo quello che immaginavo io solo che il prof continua a dirmi che f(x)<0 in $x in (-oo,0)$ ed è pure sicuro di sè boh
affermare che f(x)<0 in $x in (-oo,0)$ non esclude che la funzione possa essere negativa anche in un altro intervallo ($(0,2)$): puoi ad esempio provare a convincertene calcolando $f(1)=-1/e$. magari l'affermazione era collegata a qualche altra proprietà in $(-oo, 0)$ ...
Scusate ma non ho capito come mai il prof arriva a trovarmi la seguente derivata:
$f'(x)=e^(-1/x)/x^2*(x^2+x-2)$
$f'(x)=e^(-1/x)/x^2*(x^2+x-2)$
Ma tu le risposte che ti do le leggi o fai finta?
"@melia":
ancora due calcoli
$f'(x)= 1*e^(-1/x)+(x-2)*e^(-1/x)*(-1/x^2)= e^(-1/x)-(x-2)*(e^(-1/x)/x^2)= e^(-1/x)*(1-(x-2)/x^2) =e^(-1/x)*(x^2-x+2)/x^2 $
sarò scema io sicuramente ma non capisco perchè io con il tuo ragionamento e il mio ottengo
$(x^2-x+2)$
mentre il prof ottiene:
$(x^2+x-2)$
e non penso di far finta a leggere le risposte anzi...
$(x^2-x+2)$
mentre il prof ottiene:
$(x^2+x-2)$
e non penso di far finta a leggere le risposte anzi...
Hai ragione, stupidamente ho pensato che sapessi calcolare la derivata di $1/x$, invece pare di no.
La derivata di $-1/x$ è $+1/x^2$. Quindi:
$f'(x)= 1*e^(-1/x)+(x-2)*(e^(-1/x)*1/x^2) = e^(-1/x)+(x-2)*(e^(1/x)/x^2) =e^(-1/x)*(x^2+x-2)/(x^2)$
La derivata di $-1/x$ è $+1/x^2$. Quindi:
$f'(x)= 1*e^(-1/x)+(x-2)*(e^(-1/x)*1/x^2) = e^(-1/x)+(x-2)*(e^(1/x)/x^2) =e^(-1/x)*(x^2+x-2)/(x^2)$
Cara melia grazie e ancora scusa per il disturbo, per il fatto che faccio domande banali e non sono un genio in matematica.
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