Funzione discontinua

[davide846]

Salve a tutti

$fn(x) = x/sqrt[(x^2 + 1/n)]$

facendo tendere n ad infinitio $fn(x)$ vale $0$ per $x = 0$ e $x/|x|$ per $x != 0$

1) La prof ha detto che si tratta di una funzione discontinua. Ma da dove lo vedo?
2) Perché faccio tendere n a infinito?
3) Perché $sqrt(x^2)$ = $x/|x|$ ? Non basterebbe annullare il quadrato con la radice?

Grazie

[dan952]

Attenzione: $sqrt(x^2)!=\frac{x}{|x|}$, infatti $sqrt(x^2)=|x|$ e $\frac{x}{|x|}={(1\ x>0),(-1\ x<0):}$

Si tratta di una discontinuità di prima specie (di salto), la condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione presenti una discontinuità di salto in un punto $x_0$ è che i limiti destro e sinistro della funzione per $x$ tendente a $x_0$ siano finiti e diversi, condizione che nel nostro caso è soddisfatta infatti ponendo $\lim_{n\rarr +\infty}f_n=f$ si ha $\lim_{x \rarr 0^{+}} f(x)=1!=\lim_{x \rarr 0^{-}} f(x)=-1$.

In parole povere quella che hai davanti è la cosiddetta sign function $f=sign(x)$, la funzione segno.

[davide846]

"dan95":Attenzione: $sqrt(x^2)!=\frac{x}{|x|}$

Sì, scusa. Ho sbagliato io. Per quanto riguarda la discontinuità, ho capito. Mi rimane solo un dubbio.
Per quanto riguarda $\frac{x}{|x|}={(1\ x>0),(-1\ x<0):}$ la prof ha fatto questo stesso ragionamento facendo tendere n a infinito. Ma perché devo fare così?

Grazie mille

[dan952]

"davide846":Ma perché devo fare così?

Cosa intendi? Perché devi far tendere n all'infinito per ottenere quella funzione?

[davide846]

"dan95":[quote="davide846"]Ma perché devo fare così?

Cosa intendi? Perché devi far tendere n all'infinito per ottenere quella funzione?[/quote]

Cerco di spiegarmi meglio.. Perché quando studio la funzione $ \frac{x}{|x|}={(1\ x>0),(-1\ x<0):} $ non tengo conto di $1/n$?
Sui miei appunti c'è scritto perché faccio tendere n ad infinito, cosicché $1/n$ si annulli.