Funzione differenziabile nell'origine

[dasja_cole7]

Buonasera a tutti,
mi servirebbe il vostro prezioso aiuto circa un esercizio che non riesco a capire.
Ho la seguente funzione:

$ f(x, y) = { ( (xy) / (x^2 + y^2), (x, y) != (0, 0) ),( 0, (x, y) = (0,0) ):} $

di cui mi viene chiesto di dire se è differenziabile in $(0, 0)$ .
Ovviamente se si studia la continuità nell'origine si vede che, dato che la funzione non è continua nell'origine non è ivi differenziabile.
Tuttavia se osserviamo le derivate parziali vediamo che queste valgono sempre 0 (anche nell'origine) e quindi sono continue nell'origine. Per il teorema del differenziale totale la funzione non dovrebbe anche essere differenziabile in $(0, 0)$ ?
Dove sbaglio?

Grazie mille a chiunque avrà la premura di rispondermi.

[kobeilprofeta]

perche dici che la funzione non è continua nell'origine?

[dasja_cole7]

"kobeilprofeta":perche dici che la funzione non è continua nell'origine?

Perché se vado a calcolare il

$ lim_((x, y) -> (0, 0)) (xy) / (x^2 + y^2) $

ottengo che tale limite non esiste. Infatti se mi "avvicino" alla funzione lungo la restrizione $y = x$ ottengo:

$ lim_(x -> 0) x^2 /(2x^2) = 1/2 $

se invece mi "avvicino" alla funzione lungo la restrizione $y = -x$ ottengo:

$ lim_(x -> 0) -x^2 /(2x^2) = -1/2 $

e dato che il limite è differente lungo le due restrizioni il limite non esiste (e tantomeno è uguale a 0) quindi la funzione non è continua. Non essendo la funzione continua non è nemmeno differenziabile.
Tuttavia il mio dubbio sta nel fatto che se osservo le derivate parziali nell'origine ottengo che queste sono continue in quanto entrambe sono sempre nulle in un intorno dell'origine e la funzione è inoltre derivabile in un intorno dell'origine in quanto composizione di funzioni derivabili. Allora dovrebbe essere differenziabile per il teorema del differenziale totale (ma ovviamente non lo è). Dove sbaglio?