Funzione differenziabile è a-holderiana
Sia \( E \subset \mathbb{R}^n \) un insieme aperto, limitato, connesso e non vuoto.
1) Sia \( \mathbf{f} \in \mathcal{C}^1(E,\mathbb{R}) \) e le cui derivate parziali sono limitate.
a) Per \( \alpha \in ]0,1] \) diciamo che una funzione \( \mathbf{h} : E \rightarrow \mathbb{R}^m \) è \( \alpha\)-holderiana se esiste \( C >0 \) tale che \( \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in E \), \( \begin{Vmatrix} \mathbf{h}(\mathbf{x})-\mathbf{h}(\mathbf{y}) \end{Vmatrix} \leq C \begin{Vmatrix} \mathbf{x}-\mathbf{y} \end{Vmatrix}^{\alpha} \).
Per quali valori di \( \alpha\), \(\mathbf{f} \) è \( \alpha\)-holderiana?
b) Dimostrare che \( \mathbf{f} \) è uniformemente continua su \( E \) e ammette un unico prolungamento per continuità su \( \bar{E} \).
2) Sia \( \mathbf{f} \in \mathcal{C}^1(E,\mathbb{R}^m) \), le cui derivate parziali sono limitate. Il risultato del punto 1 è sempre valido?
Indicazione: Sia \( I \subset \mathbb{R} \) un intervallo limitato. Per una funzione \( \mathbf{g} \in \mathcal{C}^0(E,\mathbb{R}^m) \) limitata, allora \( \begin{Vmatrix} \int_I \mathbf{g} \end{Vmatrix} \leq \int_I \begin{Vmatrix} \mathbf{g} \end{Vmatrix} \). Questo risultato è vero per tutte le norme.
Domanda supplementare: dimostrare il risultato dell'indicazione qui sopra per la norma euclidea di \( \mathbb{R}^m \).
1) a) Idea (da dimostrare)
Per \( \alpha = 1 \) infatti visto che \( \mathbf{f} \in \mathcal{C}^1(E,\mathbb{R}) \) allora tutte le derivate parziali sono continue e limitate per cui poniamo \(k:= \max_{i \in \{ 1,\ldots,n\} } \{ \sup_{\mathbf{x} \in E} \frac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{x}) \} \) e abbiamo che la funzione \( \mathbf{f} \) è \( k\)-lipschitziana e dunque \( 1\)-holderiana.
Per altri \( \alpha \in ]0,1[ \) non saprei, ma ad intuito direi che ci sono altri \( \alpha \).
1) b)
Se \( \mathbf{f} \) è \( \alpha\)-holderiana, per almeno un \( \alpha \in ]0,1] \), implica che esiste \( C >0 \) tale che \( \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in E \), \( \begin{Vmatrix} \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{y}) \end{Vmatrix} \leq C \begin{Vmatrix} \mathbf{x}-\mathbf{y} \end{Vmatrix}^{\alpha} \).
Dunque \( \forall \epsilon \), \( \exists \delta_{ \epsilon} = \begin{pmatrix}
\frac{\epsilon}{C}
\end{pmatrix}^{\frac{1}{\alpha}} \) tale che \( \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in E \) tale che \(\begin{Vmatrix} \mathbf{x}-\mathbf{y} \end{Vmatrix} \leq \delta_{\epsilon} \) risulta che \( \begin{Vmatrix} \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{y}) \end{Vmatrix} \leq C \begin{Vmatrix} \mathbf{x}-\mathbf{y} \end{Vmatrix}^{\alpha} \leq \epsilon \).
Dunque \( \mathbf{f} \) è uniformemente continua.
Per il prolungamento per continuità non saprei...
2) Idea (da dimostrare)
Visto che \( \mathbf{f} =(f_1, \ldots, f_n) \in \mathcal{C}^1(E,\mathbb{R}^m) \), dove \( f_k \in \mathcal{C}^1(E,\mathbb{R}) \), dunque i risultati del punto 1) a) sono validi per ogni componente di \(f \) e basta prendere il la norma infinita per renderla vera anche per \( \mathbf{f} \).
Però probabilmente è sbagliato, infatti mi da un indicazione che non uso.. eheheh.
E non ho nemmeno usato il fatto che \( E \) sia connesso.. ma non so proprio.
Mah... insomma, non ho proprio idea
1) Sia \( \mathbf{f} \in \mathcal{C}^1(E,\mathbb{R}) \) e le cui derivate parziali sono limitate.
a) Per \( \alpha \in ]0,1] \) diciamo che una funzione \( \mathbf{h} : E \rightarrow \mathbb{R}^m \) è \( \alpha\)-holderiana se esiste \( C >0 \) tale che \( \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in E \), \( \begin{Vmatrix} \mathbf{h}(\mathbf{x})-\mathbf{h}(\mathbf{y}) \end{Vmatrix} \leq C \begin{Vmatrix} \mathbf{x}-\mathbf{y} \end{Vmatrix}^{\alpha} \).
Per quali valori di \( \alpha\), \(\mathbf{f} \) è \( \alpha\)-holderiana?
b) Dimostrare che \( \mathbf{f} \) è uniformemente continua su \( E \) e ammette un unico prolungamento per continuità su \( \bar{E} \).
2) Sia \( \mathbf{f} \in \mathcal{C}^1(E,\mathbb{R}^m) \), le cui derivate parziali sono limitate. Il risultato del punto 1 è sempre valido?
Indicazione: Sia \( I \subset \mathbb{R} \) un intervallo limitato. Per una funzione \( \mathbf{g} \in \mathcal{C}^0(E,\mathbb{R}^m) \) limitata, allora \( \begin{Vmatrix} \int_I \mathbf{g} \end{Vmatrix} \leq \int_I \begin{Vmatrix} \mathbf{g} \end{Vmatrix} \). Questo risultato è vero per tutte le norme.
Domanda supplementare: dimostrare il risultato dell'indicazione qui sopra per la norma euclidea di \( \mathbb{R}^m \).
1) a) Idea (da dimostrare)
Per \( \alpha = 1 \) infatti visto che \( \mathbf{f} \in \mathcal{C}^1(E,\mathbb{R}) \) allora tutte le derivate parziali sono continue e limitate per cui poniamo \(k:= \max_{i \in \{ 1,\ldots,n\} } \{ \sup_{\mathbf{x} \in E} \frac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{x}) \} \) e abbiamo che la funzione \( \mathbf{f} \) è \( k\)-lipschitziana e dunque \( 1\)-holderiana.
Per altri \( \alpha \in ]0,1[ \) non saprei, ma ad intuito direi che ci sono altri \( \alpha \).
1) b)
Se \( \mathbf{f} \) è \( \alpha\)-holderiana, per almeno un \( \alpha \in ]0,1] \), implica che esiste \( C >0 \) tale che \( \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in E \), \( \begin{Vmatrix} \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{y}) \end{Vmatrix} \leq C \begin{Vmatrix} \mathbf{x}-\mathbf{y} \end{Vmatrix}^{\alpha} \).
Dunque \( \forall \epsilon \), \( \exists \delta_{ \epsilon} = \begin{pmatrix}
\frac{\epsilon}{C}
\end{pmatrix}^{\frac{1}{\alpha}} \) tale che \( \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in E \) tale che \(\begin{Vmatrix} \mathbf{x}-\mathbf{y} \end{Vmatrix} \leq \delta_{\epsilon} \) risulta che \( \begin{Vmatrix} \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{y}) \end{Vmatrix} \leq C \begin{Vmatrix} \mathbf{x}-\mathbf{y} \end{Vmatrix}^{\alpha} \leq \epsilon \).
Dunque \( \mathbf{f} \) è uniformemente continua.
Per il prolungamento per continuità non saprei...
2) Idea (da dimostrare)
Visto che \( \mathbf{f} =(f_1, \ldots, f_n) \in \mathcal{C}^1(E,\mathbb{R}^m) \), dove \( f_k \in \mathcal{C}^1(E,\mathbb{R}) \), dunque i risultati del punto 1) a) sono validi per ogni componente di \(f \) e basta prendere il la norma infinita per renderla vera anche per \( \mathbf{f} \).
Però probabilmente è sbagliato, infatti mi da un indicazione che non uso.. eheheh.
E non ho nemmeno usato il fatto che \( E \) sia connesso.. ma non so proprio.
Mah... insomma, non ho proprio idea
Risposte
Qualche hint. 1a: usa \( \|\mathbf{x} - \mathbf{y} \| = \| \mathbf{x} - \mathbf{y} \|^a \cdot \|\mathbf{x} - \mathbf{y} \|^{1-a}\), distingui i casi \( \| \mathbf{x} - \mathbf{y} \| \le 1 \) e \( \| \mathbf{x} - \mathbf{y} \| > 1 \) e ricorda (fondamentale) che \( \mathbf{f}\) e' differenziabile e limitata (siccome \(E\) e' limitato). 1b (estensione continua): prendi \( \overline{\mathbf{x}} \in \overline{E}\) e considera una successione \( \mathbf{x}_n \in E \) con \( \mathbf{x}_n \to \mathbf{x}\). La successione \( f(\mathbf{x}_n) \) converge?
Per l'1) a) e con \( \alpha = 1 \) forse è meglio così:
Per il teorema del accrescimento finito abbiamo che \( \forall \mathbf{x} , \mathbf{y} \in E \), \( \exists \mathbf{z} \in ] \mathbf{x}, \mathbf{y} [ \) tale che
\( \mathbf{f}(\mathbf{x}) - \mathbf{f}(\mathbf{y}) = \operatorname{D} \mathbf{f}(\mathbf{z})( \mathbf{x} - \mathbf{y}) \)
Dunque abbiamo che
\( \begin{vmatrix} \mathbf{f}(\mathbf{x}) - \mathbf{f}(\mathbf{y}) \end{vmatrix} =\begin{Vmatrix} \operatorname{D}\mathbf{f}( \mathbf{z})( \mathbf{x} - \mathbf{y}) \end{Vmatrix} \leq \begin{Vmatrix} \operatorname{D}\mathbf{f}( \mathbf{z}) \end{Vmatrix} \begin{Vmatrix} \mathbf{x} - \mathbf{y}) \end{Vmatrix} \)
Dove \( \begin{Vmatrix} \operatorname{D}\mathbf{f}( \mathbf{z}) \end{Vmatrix} : = \sup_{\mathbf{w} \in E} \frac{\begin{Vmatrix} \operatorname{D}\mathbf{f}( \mathbf{z}) \mathbf{w}\end{Vmatrix} }{\begin{Vmatrix}\mathbf{w}\end{Vmatrix}} \) indica la norma matriciale.
Per il fatto che tutte le derivate parziali sono limitate sappiamo che \( \begin{Vmatrix} \operatorname{D}\mathbf{f}( \mathbf{z}) \end{Vmatrix} \in \mathbb{R} \), possiede un massimo.
Per altri \( \alpha \) non so se funziona questo ragionamento, inoltre se questa è una dimostrazione del 1) a) allora per il 2) abbiamo che non è più valido in quanto il teorema dell'accrescimento finito per \( \mathbf{f} : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m \) non è più valido infatti se è vero che per ogni componente \( f_k : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \) esiste un \( \mathbf{z}_k \in [\mathbf{x}, \mathbf{y} \) che soddisfa
\( f_k( \mathbf{x})-f_k( \mathbf{y})= \operatorname{D}f_k( \mathbf{z}_k)( \mathbf{x} - \mathbf{y}) \)
nessuno ci garantisce che i \( \mathbf{z}_k \) siano gli stessi per tutti i \( k \in \{ 1, \ldots, n \} \).
L'unico mio dubbio sta nel fatto che la norma matriciale qui dipende da \( \mathbf{z} \) che a sua volta dipende da \( \mathbf{x}, \mathbf{y} \) mentre la costante \( C \) della definizione di funzione holderiana è indipendente da \( \mathbf{x}, \mathbf{y} \)
Per il teorema del accrescimento finito abbiamo che \( \forall \mathbf{x} , \mathbf{y} \in E \), \( \exists \mathbf{z} \in ] \mathbf{x}, \mathbf{y} [ \) tale che
\( \mathbf{f}(\mathbf{x}) - \mathbf{f}(\mathbf{y}) = \operatorname{D} \mathbf{f}(\mathbf{z})( \mathbf{x} - \mathbf{y}) \)
Dunque abbiamo che
\( \begin{vmatrix} \mathbf{f}(\mathbf{x}) - \mathbf{f}(\mathbf{y}) \end{vmatrix} =\begin{Vmatrix} \operatorname{D}\mathbf{f}( \mathbf{z})( \mathbf{x} - \mathbf{y}) \end{Vmatrix} \leq \begin{Vmatrix} \operatorname{D}\mathbf{f}( \mathbf{z}) \end{Vmatrix} \begin{Vmatrix} \mathbf{x} - \mathbf{y}) \end{Vmatrix} \)
Dove \( \begin{Vmatrix} \operatorname{D}\mathbf{f}( \mathbf{z}) \end{Vmatrix} : = \sup_{\mathbf{w} \in E} \frac{\begin{Vmatrix} \operatorname{D}\mathbf{f}( \mathbf{z}) \mathbf{w}\end{Vmatrix} }{\begin{Vmatrix}\mathbf{w}\end{Vmatrix}} \) indica la norma matriciale.
Per il fatto che tutte le derivate parziali sono limitate sappiamo che \( \begin{Vmatrix} \operatorname{D}\mathbf{f}( \mathbf{z}) \end{Vmatrix} \in \mathbb{R} \), possiede un massimo.
Per altri \( \alpha \) non so se funziona questo ragionamento, inoltre se questa è una dimostrazione del 1) a) allora per il 2) abbiamo che non è più valido in quanto il teorema dell'accrescimento finito per \( \mathbf{f} : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m \) non è più valido infatti se è vero che per ogni componente \( f_k : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \) esiste un \( \mathbf{z}_k \in [\mathbf{x}, \mathbf{y} \) che soddisfa
\( f_k( \mathbf{x})-f_k( \mathbf{y})= \operatorname{D}f_k( \mathbf{z}_k)( \mathbf{x} - \mathbf{y}) \)
nessuno ci garantisce che i \( \mathbf{z}_k \) siano gli stessi per tutti i \( k \in \{ 1, \ldots, n \} \).
L'unico mio dubbio sta nel fatto che la norma matriciale qui dipende da \( \mathbf{z} \) che a sua volta dipende da \( \mathbf{x}, \mathbf{y} \) mentre la costante \( C \) della definizione di funzione holderiana è indipendente da \( \mathbf{x}, \mathbf{y} \)
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
Qualche hint. 1a: usa \( \|\mathbf{x} - \mathbf{y} \| = \| \mathbf{x} - \mathbf{y} \|^a \cdot \|\mathbf{x} - \mathbf{y} \|^{1-a}\), distingui i casi \( \| \mathbf{x} - \mathbf{y} \| \le 1 \) e \( \| \mathbf{x} - \mathbf{y} \| > 1 \) e ricorda (fondamentale) che \( \mathbf{f}\) e' differenziabile e limitata (siccome \(E\) e' limitato). 1b (estensione continua): prendi \( \overline{\mathbf{x}} \in \overline{E}\) e considera una successione \( \mathbf{x}_n \in E \) con \( \mathbf{x}_n \to \mathbf{x}\). La successione \( f(\mathbf{x}_n) \) converge?
Scusa ma \( \mathbf{f} \) perché è limitata? \( E \) è un aperto, potrebbe ai bordi avere limite che va a più all infinito, o sbaglio?
"3m0o":
Scusa ma \( \mathbf{f} \) perché è limitata? \( E \) è un aperto, potrebbe ai bordi avere limite che va a più all infinito, o sbaglio?
Per ogni \( \mathbb{x} \in E \) e per un punto (fissato) \( \mathbb{y} \in E \) si ha che \[ \begin{split} \| \mathbb{f} (\mathbb{x}) \| \le \| \mathbb{f} (\mathbb{y}) \| + \| \mathbb{f} (\mathbb{x}) - \mathbb{f} (\mathbb{y}) \| & \le \| \mathbb{f} (\mathbb{y}) \| + \|D \mathbb{f} \|_\infty \| \mathbb{x} - \mathbb{y} \| \\
& \le \| \mathbb{f} (\mathbb{y}) \| + \|D \mathbb{f} \|_\infty \text{diam}(E) < \infty. \end{split} \] Passando al sup su \( \mathbb{x}\) LHS ottieni la limitatezza.
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
[quote="3m0o"]Scusa ma \( \mathbf{f} \) perché è limitata? \( E \) è un aperto, potrebbe ai bordi avere limite che va a più all infinito, o sbaglio?
Per ogni \( \mathbb{x} \in E \) e per un punto (fissato) \( \mathbb{y} \in E \) si ha che \[ \begin{split} \| \mathbb{f} (\mathbb{x}) \| \le \| \mathbb{f} (\mathbb{y}) \| + \| \mathbb{f} (\mathbb{x}) - \mathbb{f} (\mathbb{y}) \| & \le \| \mathbb{f} (\mathbb{y}) \| + \|D \mathbb{f} \|_\infty \| \mathbb{x} - \mathbb{y} \| \\
& \le \| \mathbb{f} (\mathbb{y}) \| + \|D \mathbb{f} \|_\infty \text{diam}(E) < \infty. \end{split} \] Passando al sup su \( \mathbb{x}\) LHS ottieni la limitatezza.[/quote]
Ma no, scusa quando scrivi \( \| \mathbb{f} (\mathbb{x}) - \mathbb{f} (\mathbb{y}) \| = \|D \mathbb{f} \|_\infty \| \mathbb{x} - \mathbb{y} \| \) stai considerando l'insieme \( [\mathbf{x}, \mathbf{y} ] \subset E \), ovvero la restrizione di \( \mathbf{f} \) su un insieme chiuso e limitato, mentre \( E \) è un insieme aperto e limitato.
Controesempio
\( f: B(\mathbf{1}, 1) \rightarrow \mathbb{R} \) dove \( B(\mathbf{1}, 1) =\{\mathbf{y} \in \mathbb{R}^2 : \begin{Vmatrix} \mathbf{y} - \mathbf{1} \end{Vmatrix}_{\infty} < 1\} \) è il cerchio aperto unitario centrato in \( (1,1) \) secondo la norma infinita, dunque un quadrato di lato 2 senza il bordo.
e \( f(x,y)=\frac{1}{x} \) quando \( (x,y) \rightarrow (0,y) \) abbiamo che \( f(x,y) \rightarrow +\infty \)
Per il prolungamento per continutià unico ho risolto, grazie al tuo hint grazie, penso vada bene:
Abbiamo dunque che \( f \) è uniformemente continua dunque
\( \forall \epsilon>0 \), \(\exists \delta >0\) tale che \( \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in E \) tale che \( \begin{Vmatrix} \mathbf{x} - \mathbf{y} \end{Vmatrix}\leq \delta \) allora \( \begin{Vmatrix} f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{y}) \end{Vmatrix} \leq \epsilon \).
Consideriamo ora \( a \in \bar{E}/E \), abbiamo che \( a \) è un punto di accumulazione infatti \( \forall \delta >0 \) risulta che \( B(a,\delta) \cap E \neq \{ a \} \), pertanto abbiamo l'esistenza di una successione \( \{ a_k \}_{k\geq0} \) tale che \( \lim\limits_{k\to \infty} a_k = a \), e dunque è una successione di Cauchy, questo vuol dire che \( \forall \delta, \exists N(\delta) \) tale che \( \forall n,m > N(\delta) \) risulta che \( \begin{Vmatrix} a_n - a_m \end{Vmatrix} \leq \delta \).
per continuità uniforme abbiamo allora che \( \begin{Vmatrix} f(a_n) - f(a_m) \end{Vmatrix} \leq \epsilon \), dunque la successione \( \{ f(a_k) \}_{k\geq 0} \) è di Cauchy, e pertanto converge abbiamo che \( \lim\limits_{k \to \infty} f(a_k)= \alpha \in \mathbb{R} \).
Sia ora un'altra successione \( \{b_k\}_{k\geq0} \) tale che \( \lim\limits_{k\to \infty} b_k = a \) ma \( \lim\limits_{k \to \infty} f(b_k) = \beta \).
Abbiamo allora che \( \forall \epsilon >0 \) esiste un certo \( M(\epsilon) \), sufficientemente grande, tale che \( \forall k > M \) risulta che \( \begin{Vmatrix} a_k - b_k \end{Vmatrix} \leq \delta \), \( \begin{Vmatrix} f(a_k) - \alpha \end{Vmatrix} \leq \frac{\epsilon}{3} \) e \( \begin{Vmatrix} f(b_k) - \beta \end{Vmatrix} \leq \frac{\epsilon}{3} \).
Risulta dunque che se \( \begin{Vmatrix} a_k - b_k \end{Vmatrix} \leq \delta \) allora \( \begin{Vmatrix} f(a_k) - f(b_k) \end{Vmatrix} \leq \frac{\epsilon}{3} \) per continuità uniforme dunque:
\( \begin{Vmatrix} \alpha - \beta \end{Vmatrix} \leq \begin{Vmatrix} f(a_k) - f(b_k) \end{Vmatrix}+ \begin{Vmatrix} f(a_k) - \alpha \end{Vmatrix}+ \begin{Vmatrix} f(b_k) - \beta \end{Vmatrix} \leq \epsilon\)
Questo implica che \( \alpha = \beta \).
Abbiamo dunque che \( f \) è uniformemente continua dunque
\( \forall \epsilon>0 \), \(\exists \delta >0\) tale che \( \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in E \) tale che \( \begin{Vmatrix} \mathbf{x} - \mathbf{y} \end{Vmatrix}\leq \delta \) allora \( \begin{Vmatrix} f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{y}) \end{Vmatrix} \leq \epsilon \).
Consideriamo ora \( a \in \bar{E}/E \), abbiamo che \( a \) è un punto di accumulazione infatti \( \forall \delta >0 \) risulta che \( B(a,\delta) \cap E \neq \{ a \} \), pertanto abbiamo l'esistenza di una successione \( \{ a_k \}_{k\geq0} \) tale che \( \lim\limits_{k\to \infty} a_k = a \), e dunque è una successione di Cauchy, questo vuol dire che \( \forall \delta, \exists N(\delta) \) tale che \( \forall n,m > N(\delta) \) risulta che \( \begin{Vmatrix} a_n - a_m \end{Vmatrix} \leq \delta \).
per continuità uniforme abbiamo allora che \( \begin{Vmatrix} f(a_n) - f(a_m) \end{Vmatrix} \leq \epsilon \), dunque la successione \( \{ f(a_k) \}_{k\geq 0} \) è di Cauchy, e pertanto converge abbiamo che \( \lim\limits_{k \to \infty} f(a_k)= \alpha \in \mathbb{R} \).
Sia ora un'altra successione \( \{b_k\}_{k\geq0} \) tale che \( \lim\limits_{k\to \infty} b_k = a \) ma \( \lim\limits_{k \to \infty} f(b_k) = \beta \).
Abbiamo allora che \( \forall \epsilon >0 \) esiste un certo \( M(\epsilon) \), sufficientemente grande, tale che \( \forall k > M \) risulta che \( \begin{Vmatrix} a_k - b_k \end{Vmatrix} \leq \delta \), \( \begin{Vmatrix} f(a_k) - \alpha \end{Vmatrix} \leq \frac{\epsilon}{3} \) e \( \begin{Vmatrix} f(b_k) - \beta \end{Vmatrix} \leq \frac{\epsilon}{3} \).
Risulta dunque che se \( \begin{Vmatrix} a_k - b_k \end{Vmatrix} \leq \delta \) allora \( \begin{Vmatrix} f(a_k) - f(b_k) \end{Vmatrix} \leq \frac{\epsilon}{3} \) per continuità uniforme dunque:
\( \begin{Vmatrix} \alpha - \beta \end{Vmatrix} \leq \begin{Vmatrix} f(a_k) - f(b_k) \end{Vmatrix}+ \begin{Vmatrix} f(a_k) - \alpha \end{Vmatrix}+ \begin{Vmatrix} f(b_k) - \beta \end{Vmatrix} \leq \epsilon\)
Questo implica che \( \alpha = \beta \).
"3m0o":
[quote="080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6"][quote="3m0o"]Scusa ma \( \mathbf{f} \) perché è limitata? \( E \) è un aperto, potrebbe ai bordi avere limite che va a più all infinito, o sbaglio?
Per ogni \( \mathbb{x} \in E \) e per un punto (fissato) \( \mathbb{y} \in E \) si ha che \[ \begin{split} \| \mathbb{f} (\mathbb{x}) \| \le \| \mathbb{f} (\mathbb{y}) \| + \| \mathbb{f} (\mathbb{x}) - \mathbb{f} (\mathbb{y}) \| & \le \| \mathbb{f} (\mathbb{y}) \| + \|D \mathbb{f} \|_\infty \| \mathbb{x} - \mathbb{y} \| \\ & \le \| \mathbb{f} (\mathbb{y}) \| + \|D \mathbb{f} \|_\infty \text{diam}(E) < \infty. \end{split} \] Passando al sup su \( \mathbb{x} \) LHS ottieni la limitatezza.[/quote]
Ma no, scusa quando scrivi \( \| \mathbb{f} (\mathbb{x}) - \mathbb{f} (\mathbb{y}) \| = \|D \mathbb{f} \|_\infty \| \mathbb{x} - \mathbb{y} \| \) stai considerando l'insieme \( [\mathbf{x}, \mathbf{y} ] \subset E \), ovvero la restrizione di \( \mathbf{f} \) su un insieme chiuso e limitato, mentre \( E \) è un insieme aperto e limitato.
Controesempio
\( f: B(\mathbf{1}, 1) \rightarrow \mathbb{R} \) dove \( B(\mathbf{1}, 1) =\{\mathbf{y} \in \mathbb{R}^2 : \begin{Vmatrix} \mathbf{y} - \mathbf{1} \end{Vmatrix}_{\infty} < 1\} \) è il cerchio aperto unitario centrato in \( (1,1) \) secondo la norma infinita, dunque un quadrato di lato 2 senza il bordo.
e \( f(x,y)=\frac{1}{x} \) quando \( (x,y) \rightarrow (0,y) \) abbiamo che \( f(x,y) \rightarrow +\infty \)[/quote]
Le derivate parziali di \( \mathbb{f} \) sono limitate in tutto \( E \) per ipotesi. Il tuo controesempio non e' un controesempio, la derivata parziale rispetto ad \(x\) di quella funzione non e' limitata. In ogni caso, le funzioni differenziabili con gradiente limitato sono lipschitziane (cor. 6.4) e le funzioni lipschitziane su limitati sono limitate (la dimostrazione e' nel mio post precedente - ma poi pensa al caso unidimensionale: come fai ad esplodere in tempo finito con derivata controllata da una costante?). Il vero problema, qui, e' il fatto che i teoremi richiedono in genere che il dominio sia convesso, mentre qui e' solo connesso (e aperto, che al massimo ci da connesso per archi). Tra l'altro nei tuoi post precedenti parli sempre di segmento \( ] \mathbb{x} , \mathbb{y} [ \subset E \), ma non e' chiaro se \( E \) contenga tutti i segmenti. Sospetto pertanto che \( E \) vada assunto convesso (e allora quello che ho detto vale).
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
[...]
Le derivate parziali di \( \mathbb{f} \) sono limitate in tutto \( E \) per ipotesi. Il tuo controesempio non e' un controesempio, la derivata parziale rispetto ad \( x \) di quella funzione non e' limitata. In ogni caso, le funzioni differenziabili con gradiente limitato sono lipschitziane (cor. 6.4) e le funzioni lipschitziane su limitati sono limitate (la dimostrazione e' nel mio post precedente - ma poi pensa al caso unidimensionale: come fai ad esplodere in tempo finito con derivata controllata da una costante?). Il vero problema, qui, e' il fatto che i teoremi richiedono in genere che il dominio sia convesso, mentre qui e' solo connesso (e aperto, che al massimo ci da connesso per archi). Tra l'altro nei tuoi post precedenti parli sempre di segmento \( ] \mathbb{x} , \mathbb{y} [ \subset E \), ma non e' chiaro se \( E \) contenga tutti i segmenti. Sospetto pertanto che \( E \) vada assunto convesso.
Okay il fatto che le derivate parziali siano limitate è un'altra cosa, ma io dicevo che dato \( E \) aperto e limitato e una funzione \( f \) continua su \( E \), non implica che \( f(E) \) è limitato. Nel post precedente (quello che hai cancellato) avevi semplicemente riportato l'ipotesi che \( E \) fosse aperto e limitato, ma questo non ci garantisce che l'immagine di \( E \) per \( f \) sia limitata, o sbaglio?
Chiedo venia, ho fatto un errore di battitura, avevo in mente un insieme connesso, e ho scritto connesso invece l'enunciato dice convesso.
L'ho cancellato perche' avevo scritto una boiata 
Comunque ovviamente \( A \) aperto limitato e \( f : A \to \mathbb{R} \) continua non implica \(f\) limitata - prendi, come hai fatto sopra, \( A = (0,1) \) e \( f(x) = 1/x \).
Se \(E\) e' convesso allora siamo a cavallo, hai tutti gli ingredienti che ti servono per concludere.
Comunque ovviamente \( A \) aperto limitato e \( f : A \to \mathbb{R} \) continua non implica \(f\) limitata - prendi, come hai fatto sopra, \( A = (0,1) \) e \( f(x) = 1/x \).
Se \(E\) e' convesso allora siamo a cavallo, hai tutti gli ingredienti che ti servono per concludere.
Può andare così?
1) a)
Dalla dimostrazione del teorema del accrescimento finito abbiamo che \( \forall \mathbf{x} , \mathbf{y} \in E \), \( \exists \mathbf{z} \in [ \mathbf{x}, \mathbf{y} ]:=\{ \mathbf{z} \in E : \mathbf{z} = \mathbf{x} + t(\mathbf{y}-\mathbf{x}), t \in [0,1] \} \) tale che
\( \mathbf{f}(\mathbf{x}) - \mathbf{f}(\mathbf{y}) = \operatorname{D} \mathbf{f}(\mathbf{z})( \mathbf{x} - \mathbf{y}) \)
Siccome \( E \) convesso contiene tutti i possibili segmenti \( [ \mathbf{x} , \mathbf{y} ] \)
Poniamo ora \( g(t) = \mathbf{f}(\mathbf{x} + t(\mathbf{y}-\mathbf{x})) \) con \( t \in [0,1] \), abbiamo che \(g \) è continua su \([0,1] \) ed è derivabile in \( ]0,1[ \). Inoltre per la regola di composizione abbiamo che \( g'(t) = \operatorname{D}\mathbf{f}(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t) = \operatorname{D}\mathbf{f}(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t)= \operatorname{D} \mathbf{f}(\mathbf{x} + t(\mathbf{y}-\mathbf{x}))( \mathbf{x} - \mathbf{y}) \)
Da cui segue
\[ g(1) - g(0) = \int_{0}^{1} g'(t) dt \Rightarrow \begin{vmatrix}g(1) - g(0) \end{vmatrix} \leq \int_{0}^{1}\begin{vmatrix} g'(t) \end{vmatrix}dt \]
E pertanto
\[ \begin{vmatrix}\mathbf{f}(\mathbf{y}) - \mathbf{f}(\mathbf{x}) \end{vmatrix} \leq \int_{0}^{1}\begin{Vmatrix} \operatorname{D} \mathbf{f}(\mathbf{x} + t(\mathbf{y}-\mathbf{x}))( \mathbf{x} - \mathbf{y}) \end{Vmatrix} dt \]
E poiché tutte le derivate parziali di \( \mathbf{f} \) possiedono un massimo abbiamo che \( \begin{Vmatrix} \operatorname{D} \mathbf{f}(\mathbf{z}) \end{Vmatrix} \leq M \), per tutti gli \( \mathbf{z} \in E \) e per un qualche \( M \) allora implica che
\[ \begin{vmatrix}\mathbf{f}(\mathbf{y}) - \mathbf{f}(\mathbf{x}) \end{vmatrix} \leq M \int_{0}^{1} \begin{Vmatrix} \mathbf{x} - \mathbf{y} \end{Vmatrix} dt= M \begin{Vmatrix} \mathbf{x} - \mathbf{y} \end{Vmatrix} \]
2) Possiamo dunque generalizzare al caso \( \mathbf{f}: E \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m \) e visto che \( E \) è aperto e \( \mathbf{x} , \mathbf{y} \in E \) tale che \( [\mathbf{x}, \mathbf{y} ] \subset E \) allora
\[ \mathbf{f}(\mathbf{y}) - \mathbf{f}(\mathbf{x})= \int_{0}^{1} \operatorname{D} \mathbf{f}(\mathbf{x} + t(\mathbf{y}-\mathbf{x}))( \mathbf{x} - \mathbf{y}) dt \]
In più per ipotesi tutte le derivate parziali limitate e dunque \( \begin{Vmatrix} \operatorname{D} \mathbf{f}(\mathbf{z}) \end{Vmatrix} \leq M \), per tutti gli \( \mathbf{z} \in E \) e per un qualche \( M \) allora abbiamo che
\[ \begin{Vmatrix}\mathbf{f}(\mathbf{y}) - \mathbf{f}(\mathbf{x}) \end{Vmatrix} \leq M \int_{0}^{1} \begin{Vmatrix} \mathbf{x} - \mathbf{y} \end{Vmatrix}dt = M \begin{Vmatrix} \mathbf{x} - \mathbf{y} \end{Vmatrix} \]
1) a)
Dalla dimostrazione del teorema del accrescimento finito abbiamo che \( \forall \mathbf{x} , \mathbf{y} \in E \), \( \exists \mathbf{z} \in [ \mathbf{x}, \mathbf{y} ]:=\{ \mathbf{z} \in E : \mathbf{z} = \mathbf{x} + t(\mathbf{y}-\mathbf{x}), t \in [0,1] \} \) tale che
\( \mathbf{f}(\mathbf{x}) - \mathbf{f}(\mathbf{y}) = \operatorname{D} \mathbf{f}(\mathbf{z})( \mathbf{x} - \mathbf{y}) \)
Siccome \( E \) convesso contiene tutti i possibili segmenti \( [ \mathbf{x} , \mathbf{y} ] \)
Poniamo ora \( g(t) = \mathbf{f}(\mathbf{x} + t(\mathbf{y}-\mathbf{x})) \) con \( t \in [0,1] \), abbiamo che \(g \) è continua su \([0,1] \) ed è derivabile in \( ]0,1[ \). Inoltre per la regola di composizione abbiamo che \( g'(t) = \operatorname{D}\mathbf{f}(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t) = \operatorname{D}\mathbf{f}(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t)= \operatorname{D} \mathbf{f}(\mathbf{x} + t(\mathbf{y}-\mathbf{x}))( \mathbf{x} - \mathbf{y}) \)
Da cui segue
\[ g(1) - g(0) = \int_{0}^{1} g'(t) dt \Rightarrow \begin{vmatrix}g(1) - g(0) \end{vmatrix} \leq \int_{0}^{1}\begin{vmatrix} g'(t) \end{vmatrix}dt \]
E pertanto
\[ \begin{vmatrix}\mathbf{f}(\mathbf{y}) - \mathbf{f}(\mathbf{x}) \end{vmatrix} \leq \int_{0}^{1}\begin{Vmatrix} \operatorname{D} \mathbf{f}(\mathbf{x} + t(\mathbf{y}-\mathbf{x}))( \mathbf{x} - \mathbf{y}) \end{Vmatrix} dt \]
E poiché tutte le derivate parziali di \( \mathbf{f} \) possiedono un massimo abbiamo che \( \begin{Vmatrix} \operatorname{D} \mathbf{f}(\mathbf{z}) \end{Vmatrix} \leq M \), per tutti gli \( \mathbf{z} \in E \) e per un qualche \( M \) allora implica che
\[ \begin{vmatrix}\mathbf{f}(\mathbf{y}) - \mathbf{f}(\mathbf{x}) \end{vmatrix} \leq M \int_{0}^{1} \begin{Vmatrix} \mathbf{x} - \mathbf{y} \end{Vmatrix} dt= M \begin{Vmatrix} \mathbf{x} - \mathbf{y} \end{Vmatrix} \]
2) Possiamo dunque generalizzare al caso \( \mathbf{f}: E \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m \) e visto che \( E \) è aperto e \( \mathbf{x} , \mathbf{y} \in E \) tale che \( [\mathbf{x}, \mathbf{y} ] \subset E \) allora
\[ \mathbf{f}(\mathbf{y}) - \mathbf{f}(\mathbf{x})= \int_{0}^{1} \operatorname{D} \mathbf{f}(\mathbf{x} + t(\mathbf{y}-\mathbf{x}))( \mathbf{x} - \mathbf{y}) dt \]
In più per ipotesi tutte le derivate parziali limitate e dunque \( \begin{Vmatrix} \operatorname{D} \mathbf{f}(\mathbf{z}) \end{Vmatrix} \leq M \), per tutti gli \( \mathbf{z} \in E \) e per un qualche \( M \) allora abbiamo che
\[ \begin{Vmatrix}\mathbf{f}(\mathbf{y}) - \mathbf{f}(\mathbf{x}) \end{Vmatrix} \leq M \int_{0}^{1} \begin{Vmatrix} \mathbf{x} - \mathbf{y} \end{Vmatrix}dt = M \begin{Vmatrix} \mathbf{x} - \mathbf{y} \end{Vmatrix} \]
Mi sembra vada bene, hai dimostrato che la funzione è lipschitziana; adesso ti manca l'hölderianità (vedi il mio hint qualche post più su).
Abbiamo dimostrato che esiste \( M \) tale che \( \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in E \) risulta che
\( \begin{vmatrix} \mathbf{f}(\mathbf{x}) - \mathbf{f}(\mathbf{y}) \end{vmatrix} \leq M \begin{Vmatrix} \mathbf{x} -\mathbf{y} \end{Vmatrix} = M \begin{Vmatrix} \mathbf{x}- \mathbf{y} \end{Vmatrix}^{\alpha} \begin{Vmatrix} \mathbf{x}- \mathbf{y} \end{Vmatrix}^{1- \alpha } \), con \( \alpha \in ]0,1[ \)
Se \( \begin{Vmatrix} \mathbf{x}- \mathbf{y} \end{Vmatrix} \leq 1 \) risulta che \( \begin{Vmatrix} \mathbf{x}- \mathbf{y} \end{Vmatrix}^{1-\alpha} \leq 1 \)
Dunque
\( \begin{vmatrix} \mathbf{f}(\mathbf{x}) - \mathbf{f}(\mathbf{y}) \end{vmatrix} \leq M \begin{Vmatrix} \mathbf{x}- \mathbf{y} \end{Vmatrix}^{\alpha} \)
Se \( \begin{Vmatrix} \mathbf{x}- \mathbf{y} \end{Vmatrix} > 1 \), poniamo \( m := \sup\{ \begin{Vmatrix} \mathbf{x}- \mathbf{y} \end{Vmatrix} : \mathbf{x}, \mathbf{y} \in E \} >1 \)
In quanto \( E \) limitato il supremum è un numero reale e dunque la definizione di \( C \) che segue è ben definita
E poniamo \( C := M \cdot m^{1-\alpha} \)
Risulta che \( \begin{vmatrix} \mathbf{f}(\mathbf{x}) - \mathbf{f}(\mathbf{y}) \end{vmatrix} \leq C \begin{Vmatrix} \mathbf{x}- \mathbf{y} \end{Vmatrix}^{\alpha} \)
Dunque \( \forall \alpha \in ]0,1] \), \( \mathbf{f} \) è una funzione \( \alpha\)-holderiana.
La stessa argomentazione è valida per il punto 2.
Così?
\( \begin{vmatrix} \mathbf{f}(\mathbf{x}) - \mathbf{f}(\mathbf{y}) \end{vmatrix} \leq M \begin{Vmatrix} \mathbf{x} -\mathbf{y} \end{Vmatrix} = M \begin{Vmatrix} \mathbf{x}- \mathbf{y} \end{Vmatrix}^{\alpha} \begin{Vmatrix} \mathbf{x}- \mathbf{y} \end{Vmatrix}^{1- \alpha } \), con \( \alpha \in ]0,1[ \)
Se \( \begin{Vmatrix} \mathbf{x}- \mathbf{y} \end{Vmatrix} \leq 1 \) risulta che \( \begin{Vmatrix} \mathbf{x}- \mathbf{y} \end{Vmatrix}^{1-\alpha} \leq 1 \)
Dunque
\( \begin{vmatrix} \mathbf{f}(\mathbf{x}) - \mathbf{f}(\mathbf{y}) \end{vmatrix} \leq M \begin{Vmatrix} \mathbf{x}- \mathbf{y} \end{Vmatrix}^{\alpha} \)
Se \( \begin{Vmatrix} \mathbf{x}- \mathbf{y} \end{Vmatrix} > 1 \), poniamo \( m := \sup\{ \begin{Vmatrix} \mathbf{x}- \mathbf{y} \end{Vmatrix} : \mathbf{x}, \mathbf{y} \in E \} >1 \)
In quanto \( E \) limitato il supremum è un numero reale e dunque la definizione di \( C \) che segue è ben definita
E poniamo \( C := M \cdot m^{1-\alpha} \)
Risulta che \( \begin{vmatrix} \mathbf{f}(\mathbf{x}) - \mathbf{f}(\mathbf{y}) \end{vmatrix} \leq C \begin{Vmatrix} \mathbf{x}- \mathbf{y} \end{Vmatrix}^{\alpha} \)
Dunque \( \forall \alpha \in ]0,1] \), \( \mathbf{f} \) è una funzione \( \alpha\)-holderiana.
La stessa argomentazione è valida per il punto 2.
Così?
Sì, va bene!
Grazie mille sei stato gentilissimo!
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