Funzione diferenziabile

[dazuco]

data la f(x,y)

(x^2 * sqrt(|xy|))/(x^2 + Y^2) per (x,y) <> (0,0)
0 per (x,y) = (0,0)

studiarne la differenzibilta e la continuita in R^2

Allora ho calcolato il limite della f per (x,y) -> (0,0) e ho verificato che è continua
Mentre per la differenziabilità penserei ai punti critici che sono quando xy=0 quindi x=0 y=0
Ma se sostituisco prima x=0 e poi Y=0 nella f trovo sempre che le derivate prime parziali sono continue e quindi arriverei alla conclusone che la f è sempre differenziabile.

Qualcuno mi potrebbe cortesemente dire se il mio ragionamento è corretto?

grazie

[goblyn]

se trovi che le derivate parziali sono ovunque continue allora f è senz'altro differenziabile. Tieni presente però che quando sostituisci ad esempio y=0 stai restringendo la f all'asse x e quindi se ti viene che lungo tale asse la f vale ad esempio 0, puoi concludere solo che la derivata parziale rispetto a x è continua ( e vale 0). Per quella rispetto a y devi fare tutti i controlli del caso...

Ad esempio:

lungo l'asse x la f vale:

f(x,0)=0

la derivata parziale rispetto a x vale 0 ed è continua lungo tale asse. Ma quella rispetto a y?
Incrementiamo lungo la verticale (lungo y):

[ f(x,h) - f(x,0) ] / h =

= f(x,h) / h =

= 1/h * [x^2 * sqrt(|xh|)] / [x^2 + h^2] -->

--> 1/h * sqrt(|xh|) --> infinito (se x<>0) !!!

quindi la derivata parziale rispetto a y nei punti dell'asse x è infinita, la f non è differenziabile lungo tale asse. Cioè non esiste il piano tangente (oppure c'è ma è verticale come in questo caso...).
Se fai un grafico 3D di f(x,y) vedi con i tuoi occhi quello che ho scritto!

ciao!