Funzione di più variabili - continuità e differenziabilità

[ramius84]

Salve a tutti, ho dei dubbi su una funzione a 2 variabili.
data una funzione così definita:
$ f(x,y)={ ( 0, \ per \ y=0 ),( sin(xy)/y ,\ per \ y!=0 ):} $

la funzione è continua nel punto $ (x,y)=(0,0) $ ?
facendo il limite:
$ lim_(x,y -> 0,0) sin(xy)/y rArr lim_(x,y -> 0,0) sin(xy)/y (xy)/(xy)rArr lim_(x,y -> 0,0) sin(xy)/(xy) x=0 $
essendo il risultato del limite = 0, è corretto affermare che la funzione è continua in $ (x,y)=(0,0) $ ?

Poi, per studiare la differenziabilità nel punto $ (x,y)=(0,0) $ posso usare il teorema del differenziale totale?
calcolo le derivate parziali:
$ (partial f)/(partial x) sin(xy)/y =cos(xy) $
e
$ (partial f)/(partial y) sin(xy)/y =((xy)cos(xy)-sin(xy))/y^2 $
essendo la $ (partial f)/(partial y) $ non continua per y=0, è corretto concludere che $ f(x,y)$ non è differenziabile in $ (x,y)=(0,0) $ ?
grazie

[Studente Anonimo]

No, il teorema del differenziale totale e' una condizione sufficiente alla differenziabilita'. Devi fare i conti con la definizione.